类比推理在高中数学教学中的应用

季顺华

“大前提、小前提和结论”三段论式的演绎推理贯穿于中学数学教学的始终，而合情推理在数学发展史上也留下浓重一笔，如阿基米德“称”出了球体公式，哥德巴赫做出了世界著名的猜想，傅立叶发明了级数。在社会生活中，医生诊病、警察判案、军事指挥、人际交往都要应用到合情推理。而我国中学数学教学历来重视逻辑推理能力的培养，而忽视合情推理能力的培养，导致学生想象能力不高。类比推理作为合情推理的一种，是根据在特征、属性等方面类同的两个不同对象，猜测它们在其他方面也可能存在有类同之处，从而做出某种判断的推理方法。

一、类比推理在数学教学中的作用

1.有助于激发学习动机。教师创设类比的问题情境，可以吸引学生的注意力，促使学生将自身的知识经验与教师的讲授有机联系起来，通过对相关知识进行类比分析、寻找规律、做出猜想，从而接受新的知识，掌握新的方法。

2.有助于培养批判性思维能力。“学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进”。高考指挥棒扼杀了高中生敢于质疑的精神，使他们不知觉地迷信于书本、权威，导致他们缺乏批判能力，容易出现判断失误。教师要借助于类比情境，引导学生从多角度审视、多方位批判分析新的知识，让学生在“求同”中学会“存异”，从而培养学生的创新思维。

3.有助于提高学习的主动性。“温故而知新，可以为师矣”。许多新的知识是由旧知识发展变化而来，新知识里或多或少都有旧知识的影子。教师在教学中，通过旧知猜测新知的内容、思想和方法，有助于提高学生的学习积极性。如在“球的体积和表面积”教学中，教师通过“圆柱的体积”知识的复习，将球体进行切割，分解成若干个近似于圆柱体的“小圆片”，它的体积和接近于球的体积。

4.有助于学生掌握科学的思维方法。学生通过类比有助于区别容易混淆的内容，能将抽象的内容具体化，便于学生理解抽象的概念属性，促使学生主动记忆，提高学生的记忆效率。类比教学能增强教学效果，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、当前类比教学中存在的主要问题

1.认识不足。类比作为一种重要的思维方法，在厘清概念、总结规律、探索结论方面发挥重要的作用，能将零乱、松散的知识条理化。如球的概念教学中，用圆的切线与球的切面、圆的弦与球的截面圆、圆周长与球表面积、圆面积与球体积进行类比，有助于学生理解消化球的概念。然而，部分教师虽然也认为类比推理在解题中比较重要，但往往重视不够，没有进行针对性的训练，导致学生应用类比推理解题时困难重重。

2.重解题轻讲授。高中一些知识结构、性质相互关联，通过类比推理就能快速地掌握新知。然而由于应试的观念根深蒂固，大部分教师大搞题海战术，片面追求问题的解题而忽视思想方法的指导，以至学生尚未将知识完全消化，就匆匆应用于解决数学题目，导致解题出错。

3.缺乏系统化的教学。由于教师对类比推理教学没有引起足够的重视，对类比推理教学的原则和策略缺乏有效的研究，不深入挖掘类比资源、应用类比素材，导致应用类比教学的方法呈任意性和随机性。

三、类比教学的应用策略

1.结构相似性类比。（1）概念类比教学。高中数学有很多概念的结构相似性明显，如正弦函数与余弦函数、等差数列与等比数列、圆与椭圆等，教师要利用结构的相似性由旧知概念类比到新知概念。①提问。寻找类比的“源问题”，通过提问的方式复习旧知。比如：今天我们将学习椭圆的知识，大家之前都学过圆，哪位同学说一说圆是如何定义的？圆的标准方程是什么？你认为圆的概念中，哪些词最能反映它具有的特性？接着教师呈现圆的概念，并标记重点词汇，为下一步的类比教学做铺垫。②类比。教师设置递进性的问题，引导学生逐层深入，由浅入深地找到类比条件，实现从旧知到新知的跨越。教师设置的问题要“缓坡度”，降低思维的难度，避免跨度过大。③验证。在得到新知概念之后，教师让学生进一步验证其正确性，加深学生对概念的理解。（2）公式教学类比。高中数学公式繁多，仅三角函数就有两角和公式、和差化积、积分和差、倍角公式、诱导公式等若干个公式，学生即便花费很长时间记忆，在应用时也难免出错。为了避免枯燥乏味的机械记忆，就要改变被动接受的学习方式，化被动记忆为主动归纳猜想，通过直观感受得出公式。首先，教师要根据教学内容，挖掘“源问题”。如“三角函数的诱导公式”教学中，教师首先呈现锐角三角函数的定义。接着，教师让学生借助于单位圆，观察第一向限角与其旋转180°至第三象限角的终边的位置关系，猜想旋转后与旋转前的两角三角函数值存在怎样的关系？进而推导出三角函数的诱导公式。最后，教师要引导学生验证类比的结论。（3）计算教学类比。高中数学中的许多运算及运算规律具有一定的相似性，如果教师能在“异中求同”，运用类比发现运算之间的区别联系，则有助于学生掌握新的运算。如复数集是实数集的拓展与延伸，复数运算与实数运算有许多类似的性质，教师通过启发引导，让学生运用实数运算的交换律、结合律、分配律进行有关复数的运算。

2.性质相似性类比。通过性质的相似性进行类比，可以达到触类旁通、举一反三的教学效果。教师先统一复习旧知，学生经过独立思考，按照类比的范式探索新知，进行统一类比，教师要及时给予引导和纠错。性质的类比可以用表格的形式表述，清晰易懂，简洁明了。如：

圆的性质和球的性质类比教学表格

虽然类比的两个对象之间有许多相同或相近的属性，但在细节上还是有显著差别的，通过类比，学生能灵活地掌握新知，科学地构建知识体系。

如果说“演绎推理”是学习真理的话，那么“类比推理”则是发现真理。当科学家波利亚“让我们教猜想吧”的呼声拷问我们的数学教学时，我们应注重挖掘教材中潜在的类比资源，分析教材中哪些知识结构适合于类比教学，放手让学生通过类比推理掌握新的知识，从而培养学生类比推理的能力。