如何用图像法解决物理问题

耿竹林

【摘 要】本文着重介绍一种能形象地表述物理规律；直观地描述物理过程；解决物理问题的方法——图象法，从图象的“点”、“线”、“面”所含物理意义入手，并结合有特点的实例阐述怎样利用图象法解决物理问题。

【关键词】图象法；拐点；斜率；截距；面积

一、图象的物理意义

图象的物理意义主要通过“点”、“线”、“面”三个方面来体现，教学中应从这三方面入手。

“点”：图象中的点包括某个任意点和一些特殊点，如拐点、交叉点、极值点、截距点等。“点”是认识图象的基础。物理图象上的一个“点”对应一个物理状态，它包含着该物理状态的特征和特性。从“点”着手分析时应注意从以下几个特殊“点”分析其物理意义。

①截距点：它反映了当一个物理量为零时，另一个物理量的值是多少，也就是明确表明了研究对象的一个状态。如图1中，图象与纵轴的交点反映出当I=0时，I=E即电源的电动势；而图象与横轴的交点表示电源的短路电流。

②交点：即图线与图线相交的点，它反映了两个不同的研究对象此时有相同的物理量。如图2中的P点表示甲、乙两物体位移相同的时刻和发生的位移。（同一时刻达到相同的速度）

③极值点：它可以表示该点附近物理量的变化趋势。如图3中的D点表明在闭合电路中当外电阻R等于内电阻r时，电源有最大输出功率。

④拐点：通常反映出物理过程在该点发生突变，物理量由量变到质变的转折点。拐点分明拐点和暗拐点。对明拐点，学生能一眼看出其物理量发生了突变。如图4中的P点反映了加速度方向发生了变化而不是速度方向发生了变化。对暗拐点，学生往往察觉不到物理量的突变。如图5中P点，在该点速度方向发生了变化。

“线”：主要指图象的切线，其斜率通常具有明确的物理意义。物理图象的斜率代表两个物理量之比值，其大小往往代表另一物理量的值。另外图线的变化规律反映了横纵坐标表示的两物理量之间的变化关系。图象中的斜率K：过曲线上某一点作曲线的切线，该切线与横轴所成角度的正切值 （k=tg-θ）图6）。若，即该量可用微元法表示（物理图象的斜率代表两个物理量增量之比值，其大小往往代表另一物理量）.如s-t图象的斜率为速度，v-t图象的斜率为加速度，φ-t图象的斜率为感应电动势等。如图7Φ-t图象中t1时刻电动势为0。

“面”：指图线与横纵坐标所围面积表示的物理意义。面积的大小常代表另一物理量的大小。

比如力随时间的变化关系曲线中（图8）

①若F是恒力，则图象所围的面积S1表示力F的冲量I1=Ft

②若F是变力，用微元法同样得到图象所围面积S2表示力F的冲量I2，即与F是否为恒力无关。

其它比如v-t图象中所围面积代表位移，F-s图象中所围面积为力做的功，s—（1/v）图象与1/v轴所围的面积代表时间等。

二、图象法运用于物理教学的意义

1.形象直观、简化解题过程

图象法思路清晰，能使解题过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的效果。例如在比较匀变速直线运动中的平均速度与中间位置的速度的大小关系时，用图象法解题一目了然。如图9，平均速度即中间时刻速度V2，中间位置的瞬时速度即面积平分时刻的速度V1。依据图象能很快地得出结论V2

如图10所示，经过一定时间，物体分别经1、

2、3过程获得速度v，1、3做变加速运动，

2做匀加速运动，要比较三个过程平均速度

的大小关系。如要用解析法，由于中学阶段

对1、3过程无法解答，导致问题不能解答。但如果知道图线与时间轴所围面积数值上等于发生的位移，则容易得出。

2、演示变化过程，体现变化规律：

用图象法来描述物理过程更加直观，可以描述出其变化的动态规律，让学生容易理解物理过程。例如图11中在分析用挡板挡住光滑斜面上的小球，分析挡板由水平位置缓慢转到竖直位置的过程中，小球对挡板与斜面的作用力如何变化时，可根据小球受三力作用平衡的条件：三力必构成一个闭合的矢量三角形。作动态分析图，注意重力大小方向不变，斜面对小球的支持力方向不变 ，而挡板对小球的支持力大小方向均会变化。如图12，由图示可得出两力的变化是：作用在挡板上的力先减小后增大，作用在斜面上的力一直在增大。

3、用于实验，简化数据处理方法：

物理学习离不开物理实验，在物理实验中应用图象法进行数据处理，不仅具有简明、直观的特点，而且还可以减小误差、分析误差的成因，较方便地获得未经测量或无法直接测量的物理量数值。

（1）揭示物理规律。如在探索弹簧弹力与形变关系的实验中，如引导学生把实验中测得的弹力F和形变量x的对应数据描在F-x图象中，则F与x的关系马上清晰地反映出来，即F与x成正比。

（2）减少偶然误差，帮助发现和分析误差。在作图描点的过程中，根据不同情况把数据点连成平滑的直线或曲线。由于测量存在一定的误差，所以曲线不一定要通过所有的点，而是要求数据点均匀的分布在曲线两旁，这相当于在数据处理过程中取平均值，若个别点偏差过大，应仔细分析后决定是否舍去。在这一过程中，偶然误差被大大的降低了。

（3）获取无法直接测量的物理量。在测量单摆的周期时，我们需要测量单摆的摆长，而单摆的摆长应该是摆的悬点到摆球质心的距离。可是在实验中能够精确测量的是悬线的长度L0，而不是摆长L，因为小球质心的位置受小球制造时的各种因素的影响，无法精确地测量。现把L改写成L0+x（如图13所示），则单摆的周期与摆长的关系变成：

这样，测出不同的L0下的T值，作出T 2-L0图线，由直线的截距b即可定出不能精确测量的。

（4）分析误差成因。在验证牛顿第二定律的实验中，对a-F图象进行分析即可得到实验的误差成因，与横轴的截距表示没有平衡摩擦力（图14），与纵轴的截距表示过度平衡摩擦力（图15）。可见用图象法分析实验误差可避开复杂的计算，使问题简洁明了。

（5）分析误差结果。伏安法测电池的电动势和内阻实验通常有两种方法：暂且叫内接法和外接法（如图16）。为了减少偶然误差，可采用图象法处理数据：不断改变变阻器的阻值，从伏特表、安培表上读取多组路端电压和流过电源的电流的值，然后根据多组U、I值画出电源的U-I图象，根据闭合电路的欧姆定律U=ε-r，由于ε和r都是常量，所以U是I的一次函数，这个图象应该是一条直线，由于实验误差，根据实测数据做出的点不会严格地落在同一条直线上，我们用直尺画一条直线，使直线两侧的点数大致相等，这条直线就能代表电压—电流关系（如图17中的直线AB和图18中的直线PM）。图线与纵轴的交点，电流I=0，代表电路断开的情况，这时，电压U等于电源电动势，即图线在纵轴上的截距就等于电源的电动势ε。图线与横轴的交点，电压U=0，代表电源短路，由短路电流I源与内阻r、电动势ε的关系r=ε/r源可知：图线的斜率就等于电池的内阻r。

图16（a）电路误差来源于伏特表的分流。在路端电压U=ε-r 中，I必须是流过电源的电流，由于电压表不是理想电表，导致电源电流的测量值I源（即安培表的示数）比真实值I真偏小，存在

I真=I源+U/UV，其中RV为伏特表的内阻。对于任意一个U值，总有I真>I源，其差值ΔI=I真-I源=U/RV随U的减小而减小。当U趋于0时，即外电路短路时，ΔI=0，此时I真=I源。画出电源真实的U真-I真图线（如图16中直线AC所示，两图线在A点相交）。比较直线AB和AC纵轴截距和图线斜率，不难看出ε测<ε真，r测

图16（b）电路误差来源于安培表的分压，由于安培表不是理想电表，致使路端电压的测量值U测（即伏特表的示数）总比真实值偏小，其间差值ΔU=U真-U测=RA，其中RA为安培表的内阻。对于任意一个I值，总有U真>U测，其差值ΔU随电源电流I的减小而减小。当外电路断路即I=0时，ΔU=0，U真=U测。根据以上特点画出电池的U真-I真图线（如图18所示的直线NP，两图线相交于P点）。比较直线MP和NP的纵轴截距和斜率，显然ε测=ε真，r测>r真。

从以上实例分析看到，一些看似很复杂、解题过程较为繁琐的物理问题，通过应用物理图象分析求解，往往可以达到事半功倍的效果。物理图象包含的物理意义是多方面的，只要我们在平时的解题中多加留意，就会有意想不到的收获。