浅谈几何直观

舒宗腾

【摘 要】几何直观是一种特殊的推理方法和思维活动，虽没有严格的逻辑推理，却往往能将抽象的问题直观化、可视化。

【关键词】核心概念；几何直观；思维定势

今年我有幸参加了国培计划（2012）—重庆市农村义务教育骨干教师置换脱产培训班为期100天的学习，期间，聆听了参与制定标准的黄翔教授对《义务教育数学课程标准2011年版》的解读。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了10个核心概念，它们是数感，符号意识，空间观念，几何直观，数据分析观念，运算能力，推理能力，模型思想，应用意识和创新意识。与《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》相比，在这10个核心概念中，有一些是新增加的：运算能力、模型思想、几何直观、创新意识；有一些是名称和内涵发生变化的：数感、符号意识、数据分析观念；有一些是保持了原有内涵：空间观念、推理能力、应用意识。下面结合我的几个教学实例谈谈新增的4个核心概念“运算能力、模型思想、几何直观、创新意识”中的“几何直观”。

几何直观是一种特殊的推理方法和思维活动，虽没有严格的逻辑推理，却往往能将抽象的问题直观化、可视化。借助几何图形的直观，常常能由图形之间的关系，感知相应的数量之间的关系，有时能使问题的解决变得直接、简明。借助几何直观研究问题，通常应先把研究的“对象”抽象成为“图形”，再把“对象之间的关系”转化为“图形之间的关系”，从而把所研究的问题转化为关于“图形的数量或位置关系”的问题，然后利用图形直观进行思考、分析并解决。

例1：某单位在公路一侧有3个职工居住在不同地方，上班车应停在何处，才能使3人所走路程之和最短？4人呢？2013个人呢？

利用几何直观研究这个问题：把公路抽象为一直线，3个人抽象为3个点，问题就转化为在线段AC上找一点使之到A、B、C这3个点的距离之和最短。

（1）如图，设A、B、C为三人所在地，D为汽车停靠点，S为三人所走距离之和

（2）如图，设A、B、C、D为四人所在地，E为汽车停靠点，S为四人所走距离之和

要S最小，必须使BE+CE最小，所以E选 在线段BC之间（包括两端点）均可。

同理五个点、六个点乃至更多的点，都可以找到停车点。

例2：某桥长500米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共30秒，而整列火车完全在桥上的时间为20秒，求火车的速度和长度。

这是一个七年级的应用题，一般的初学者有较大困难。这时，让学生自己在纸上涂一涂，画一画，将桥抽象成线段，火车画成简笔画，如图3，可以比较直观得到：30秒时间 火车走了一个车身长+500；20秒时间火车走了500—车身长。接下来，设未知数，建立方程组就水到渠成了。

由于几何直观没有严格的逻辑推理，所以它的直观化、可视化也可能产生负面影响，甚至会形成思维定势。

例3： 如图4，表示某人从家出发任一时刻到家的距离（s）与所花时间（t）之间的关系，请根据图象编个故事。

图4

几乎近几届的学生我都讲过，同学们说的故事很多，但抽象出来的运动特征基本上都是：

①在上匀速直线运动；

②在上静止；

③在上匀速直线运动。

我问为什么“在上静止？”，学生普遍认为，到家的距离不变，所以是静止。我说，到家的距离不变就是“到定点（家）的距离为定长（不变）”，这样的点一定是定点吗？我顺势给出右图。学生们都会情不自禁地“哇”，露出我怎么没想到的神情。

这里的思维定势在于，面临“到一定点的距离为定长”的数学情景时，只想到静止、想不到运动。从知识上看，可能还有“距离”与“路程”的混淆：随着时间的推移而路程不变，当然是静止，但随着时间的推移而距离不变，则可能是静止也可能是运动。

值得注意的是，这是“一个很普遍的思维定势现象”，不细心的话，一些学生“也可能会定势一辈子”的问题。当我再进一步问会有多少种运动方式时，也存在思维定势现象，也经常“几乎全军覆没”，普遍没考虑到在圆周上既可以运动又可以静止，既可以前进又可以来回走动，既可以原路返回又可以另路返回。

这一思维定势现象在书本或考试题中亦有反映。

这是2003年陕西省的一个中考题，星期天晚饭后，小红从家里出去散步， 如图5描述了她散步过程中离家的距离（米）与散步所用的时间t（分）之间的函数关系.依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ）

图5

（A）从家出发，到了一个公共阅读栏，看了一会儿报，就回家了。

（B）从家出发，到了一个公共阅读栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了。

（C）从家出发，一直散步（没有停留）， 然后回家。

（D）从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回。

這类试题源于《课标》与教材，设计了生活情景，考察了数学的核心知识——函数，题目的预设答案为（B），然而怎样否定（C）和（A）呢？

如图6，前4分钟沿OP直路匀速向前散步，然后拐弯沿圆弧PQ走6分钟，再转弯沿QR向前走2分钟，最后沿RO走6分钟直路匀速回到家.这个散步过程是“没有停留”的。可见（C）不能否定.如果散步不是按原路返回，那么从“公 共阅读栏”出来，还可以走2分钟到另一条弯路上，然后沿另一条路6分钟回到家。这样一来，（A）也否定不了！可见这道考题是道病题，与选择题“有且只有一个选项正确”矛盾，但当年数以万计的师生却没有提出异议。试想当年专家们对这题精心预设一下，还会出现这种情况吗？

由此可见，对新增的几何直观这一核心概念在我们今后的教学过程中还需不断地总结、反思，对有些课还需我们精心预设才能给学生们以精彩的生成，才不至于形成定势思维。

参考文献：

《义务教育数学课程标准（2011年版）》