也谈学生估算能力的培养

平国强

估算是一种不同于口算和笔算的运算形式，它是以口算和笔算为基础和支持，对计算结果作出一种粗略的、一定数量级精度上的估计与判断，是小学数学计算学习的重要内容。估算能力更是小学数学能力的重要方面，这种能力对学生的可持续发展具有重要的意义，可以说，在日常生活和工作中，估算应用的频繁性和广泛性，甚至超过了精确计算。

估算不仅仅是知识与方法，从本质上说，估算是一种能力。因为估算虽然有一些基本的思路与方法，如尽量取整、利用口算等，但是，这些都是最基本和原则性的方法。在实际的估算过程中，估算方法非常灵活，常取决于情境与问题的需要，这是“估算”与执行规定的法则和程序进行计算的“笔算”的最大区别，可以说“估算有法，但无定法”。因此，我们认为估算能力由以下几个方面构成：1.强烈的估算意识。这是估算能力不断提高的观念基础和内在动力，它是学生在不断经历各种估算的情境、解决各种估算问题的过程中逐步形成的。2.良好的数感。数感是估算能力的内核，它是学生对数据特征、相互关系、数据意义与大小等方面的敏感度和对估算方法选择、估算结果的原则判断等方面的能力。3.扎实的计算技能。这是估算能力的技术基础，主要是指有较高的口算、笔算的熟练程度与正确率。4.丰富的经验积累与策略的运用。这是估算能力的训练重点，需要通过各种真实情境和结构性材料的提供，让学生积累解决估算问题的有效经验，促进思维的灵活性与变通性。所以，培养学生估算能力，应该从以下几个方面着手。

一、要让学生拥有良好的估算意识

学生的估算意识是在长期的估算经历和估算问题解决中培养起来的，因此估算意识培养最重要的是不断创造机会，提供有效的估算材料、真实情境和丰富问题。首先，要结合数学教学的各个内容渗透估算。在口算、笔算、图形计算和解决问题等内容的教学中，教师都应该创造一切机会引导学生在“算前”和“算后”分别用估算估计结果和对结果的正确性作初步的判断，树立“估算无处不在”的观念。其次，教师本身在教学中要有估算训练的意识，要善于发现和利用一切材料向学生提出估算的问题。一方面要挖掘教材中的估算因素为教学所用，例如图1是四年级上册“三位数乘两位数”（笔算）中的一道习题，按教材的编写，题目明确地告诉学生这三道题计算都是错误的，学生只需根据法则再算一遍即可，但如果教师在教学中将题目的要求改成“题目中的计算有否错误？如果有，说出错误的原因并改正”的话，学生就首先要进行结果是否正确的判断，而在这个判断过程中，估算就是一个重要的策略。如“134×16→134×10=1340；152×23→150×20=3000；246×34→240×30+240×4=7200+960”，很快就能作出计算都有错误的有效判断。这样，既挖掘了教材的估算因素，又体现了估算对计算结果判断的价值，创造了估算的机会，促进了能力的提高。

图1

再如，图2也是教材中的一道习题，教学的重点应该是在学生自己填写估算结果并交流的基础上引导学生讨论和提炼估算的方法，让学生明确：除数是一位数的估算应转化为“整百数或几百几十数÷一位数”比较合理，除数是两位数的估算应转化为“整百数或几百几十数÷整十数”比较方便。这无疑是估算的重要经验，但此前的例题教学并没有类似的提炼，因此这样的讨论总结对丰富学生的经验是非常重要的。

图2

另一方面，教学过程中的很多环节，同样蕴含着丰富的估算资源，教师要充分地利用，尤其是涉及计算的环节，要有一种“大计算”观念，培养综合性的计算能力，不要只将目光紧紧盯在精确结果上。例如，下面是一位教师教学五年级“商的近似值”中新课展开部分的简要过程：

1.初步体会：（出示）牛奶每盒（3瓶装）5.5元；蛋糕每盒（4块装）9.5元。（1）提出问题：每瓶（块）多少元？（2）学生计算并板演；（3）讨论板演题，并说说实际要付多少元；（4）板书： 5.5÷3≈1.83（元），9.5÷4≈2.38（元）。

2.深入讨论：（出示）40÷14（得数保留一位小数）。（1）学生练习；（2）汇报交流（讨论答案的三种情况：2.857…，2.9，2.8）；（3）交流保留的方法和答案；（4）总结：归纳商的近似值的求法。

3.明确方法：（出示）45.5÷38（得数保留整数、保留两位小数），先说说应该除到哪一位，再计算。

4.巩固方法：（出示）26.37÷31（得数保留一位小数）。（1）学生练习；（2）汇报交流并用计算器检验。

这是一节典型的计算规则教学课，实际上，此课既是计算内容，又是求商的近似值，其间毫无疑问有大量的估算资源可以利用。例如，每一次计算之前教师都可以引导学生先估一估结果，并交流一下你的估算方法和策略，从而丰富学生的估算经验，但可惜的是教师在整个教学过程中都没有让学生去估，目标只关注了“取近似值的方法和结果”，显得过于单薄，估算训练的意识有缺。

二、要让学生形成正确的数概念和扎实的运算技能

估算的方法是灵活多变的，经常要用到“数的拆分”“数的近似值”等知识，因此良好的数概念是估算的基础。与笔算纯粹按形式化的规则与程序进行计算相比，估算更多地依赖于数的意义、计数单位及组成等方面的知识，因此数概念的教学，同样是为估算做准备的。同时，良好的计算基础，是估算得以顺利进行的技术保障，是必不可少的。研究一下教材就会发现，从二上年级到四上年级，教材每个学期都安排了估算的教学内容。同时，估算内容前面都编排有口算或笔算教学，显然，这些口算或笔算是后面估算方法的基础。笔者整理了这几册教材主要的口（笔）算与估算内容，见下表。

年级 口算或笔算内容 估算内容

二上 整十数加、减整十数、一位数。 100以内两位数加、减法估算。

二下 几百几十加、减几百几十。 三位数加、减法估算。

三上 整十数、整百数乘一位数；几百几十加、减几百几十。 两位数乘一位数估算；三位数加减两、三位数估算。

三下 整百、几百几十除以一位数；整十数、两位数乘一位数。 两、三位数除以一位数估算；两位数乘两位数估算。

四上 几百几十数乘整十数；整百、几百几十除以整十数。 三位数乘两位数估算；三位数除以整十数或几百几十除以两位数估算。

显然，掌握好以上这些口算和笔算，可以直接提高估算的能力。但同时也必须认识到两点：一是教材编排的这些估算内容和估算方法，仅仅是最简单和最基本的方法，良好的估算能力绝不仅仅靠这些就够了；二是从四下年级开始，教材不再安排估算内容的教学，这并不意味着四下年级开始就可以不关注估算，恰恰相反，笔者认为，四下以前是学习估算的基本方法阶段，四下开始是估算能力的提高与发展阶段，是运用估算方法和策略灵活解决各种估算问题的阶段，是真正体会估算的应用价值的阶段。

三、要让学生有效总结与积累估算的策略

估算作为一种能力，集中表现在估算过程中需要运用各种有效策略，可以说“几乎不存在不用策略的估算”，有效的估算，都会或多或少用到一定的策略与方法。一般说来，常用的估算策略有：1.根据问题情境的现实背景确定估算的精度与范围；2.灵活变通地运用相关知识和方法估算；3.将一组数据移多补少来估算均值或总值；4.根据得数的尾数来估算结果是否正确；5.将相关数据放大或缩小来估算得数的范围；6.设置极端情况进行估算……教材中都有这些策略的相关内容或情境设计，但并未进行明确提炼。因此，教师通过提供良好的估算情境，引导学生解决问题以后进行必要的策略提炼，对丰富学生的估算经验、提高估算能力是非常必要的，尤其是对第二学段的学生更是一种有效的提升。

例如，“学校大礼堂一共有310个座位，四年级有6个班，平均每班45人，全年级开会，座位够吗？”这样的问题估算，就应该根据问题情境的实际背景将结果估大一些更好，即45×6→50×6=300<310，因而座位是够的，这样得出的结论就更加可靠一些。再比如，“已知×是一个三位数乘两位数的算式，把下面四个数中有可能是它得数的数圈出来（3042，6538，10332，32512）”，这是一个非策略不能解决的估算问题。合理的思考过程是：首先，这个算式的积的尾数应该是2，故“6538”是不可能的，可以排除。其次，从结果的范围来看，放大两位数：×→×100<30000，即得数最大不会超过30000，故“32512”可以排除；缩小两位数：×→207×16>3042，即得数最小也必定超过3042，故只有“10332”这个答案是可能的。在整个过程中，用到了多种估算的策略。试想，如果学生在回答“45×（+ ）的积与45相比，谁大谁小”这样的问题时，能经历如下的估算过程：“和都大于，>=，所以+>+=1，故积比45大”，那么学生在知识掌握的灵活性和知识应用的变通性方面就非常好了，这恰恰也是估算能力的重要方面。

事实上，《数学课程标准（2011年版）》对估算教学要重视策略提炼有明确的要求，下面就是课程标准中的一个案例：图3中每个小正方形为1个面积单位，试估计曲线所围图形的面积。

图3

《数学课程标准（2011年版）》的建议是：要帮助学生养成事先做好规划的习惯，可以运用不同的方法估计图形的面积，例如，方法1，可以数出图形内包含的完整小正方形数，估计这个图形的面积。方法2，在上面的基础上，再加上图形边缘接触到的所有小正方形数，估计这个图形的面积。可以引导学生发现，方法1估计的比实际面积小，方法2估计的比实际面积大。实际面积应在这两个估计值之间。在此基础上还可以引导学生用自己的方法进行估计，学生通过记录、计算、比较等，体会估计的意义和方法。对于学有余力的学生，可以引导他们将所有的小正方形等分成更小的正方形，探索更接近实际面积的估计值。

显而易见，《数学课程标准（2011年版）》的案例明确地提出了估算教学不仅仅是估出结果，还应关注估算的策略积累和经验提升，这是估算能力的内涵与估算教学的重心。

四、要让学生在宽容的评价中积极估算

评价是估算教学中重要的方式与手段，恰当的、具有策略性的评价对学生的估算兴趣和能力有着引领和促进作用。教师对学生的估算进行评价，首先要关注的是估算的方法与策略，要引导学生交流自己的估算方法，说说自己为什么这样估算，只要是采用了合理的方法和策略的，都应该得到肯定并给予积极的评价。其次，对于估算结果的评价，应避免太过于苛刻。事实上，估算的结果是否合理，并不以它是否接近于精确答案为判断标准，而是看它是否符合问题情境和现实背景对答案精度的要求。因此，为了能鼓励学生大胆、真实地估算，教师对估算结果的要求应该宽容一些，只要学生估算的答案在一定的合理范围之内，就应该得到肯定，这是估算教学评价的关键所在。例如，“每桶油48元，买18桶油大约需要带多少元？”这样一道题，笔者认为，只要学生估算的答案在800元～1000元之间，都应该是正确的。教学中对估算答案的评价，应努力避免学生为追求答案的精确而不敢大胆自主地估算的现象。下面是一道PISA估算测试题及评分标准，或许有一定的启发。

题目：图4是一幅南极洲地图，请你利用图中的比例尺（略）估计它的面积，并解释你是如何得到的。（满分2分）

评分标准：

得2分：1.用正方形或长方形来估计，答案在12000000与18000000（km?）之间（对单位不作要求，下同）；2.用圆来估计，答案在12000000与18000000（km?）之间；3.分成几个规则的几何图形，将各个部分的面积加起来，答案在12000000与18000000（km?）之间；4.用其他方法，答案在12000000与18000000（km?）之间。

得1分：以上各种方法，但结果不正确或不完整。

图4

可以看出，评分标准更关注的是学生估算的方法与策略，并列出了多种估算的策略，如果运用了这些方法和策略，即使结果不正确或不完整，也能得到一半的分数，而标准对估算结果只提出了一个宽泛的范围，这个范围的允许误差达到了50%，这应该可以给教学以有效的借鉴。

综合以上的论述，笔者想以图5的模型揭示估算能力的构成及其培养策略：

图5

以上的模型表达了这样的观点：估算能力是一种综合性的能力，这种能力的培养须贯穿整个小学数学学习的全过程，而教师在教学过程中的训练意识与问题设计至关重要。这是本文想要表达的主要想法，笔者愿用以上的观点与读者探讨。

（浙江省杭州市普通教育研究室 310003）