在小学数学教学中渗透极限思想的四个“点”

张卫星

极限思想是微积分的基本思想，用以描述某个无限变化过程的终极状态，是其他相关数学分支（如复变函数、实变函数）的理论基础。极限也是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，是事物转化的重要环节。因此，我们可以尝试挖掘体现极限思想的知识点，在小学数学教学中渗透极限思想。

一、关键点——大张旗鼓地渗透

所谓关键点，即极限思想是认识一些新知的基础，没有对极限思想的感悟，就不可能深刻把握新知的内涵。小学阶段这样的知识点较多，如“圆面积公式”、“循环小数”、“角的认识”等，在教学这些知识点时要及时进行渗透，让学生在认识新知的同时体验极限思想的无穷魅力。

如，教学“射线的初步认识”一课时，一位教师经历了如下教学片断：

师：请同学们在白纸上画一条3厘米长的线段，说一说它有什么特点。

生：它是直的，用直尺可以量出长度。

生：它有两个端点……

师：请同学们在白纸上画一条5厘米长的直线。

生：好了！（得意）

生：不对！直线是没有长短的……

师：为什么？

生：因为直线可以向两边无限延长。

师：无限延长是什么意思？

生：就是无限的长，没完没了的意思……

师：下面请同学们仔细观察老师的演示。

师：（用红外线光电筒照在黑板上）请同学们画出来。

师：（打开窗户，将红外线光电筒照射向天空）如果光束没有受到阻碍的话，请你画出来……（学生有很多种情况，请学生自己说出自己的理由，交流反馈）

师：这就是我们今天要学的射线，它有什么特点呢？

生：一个端点、直的、可以向一个方向无限延长、不可度量。

师：射线是直线的一半吗？

生：是的，因为在直线上点一个点，就可以得到两条射线。

生：不对，它们都是可以无限延长的，所以无法比较，不能说谁是谁的一半……

让学生一下子认识到图形的无限性有一定难度，上述教学中，教师通过让学生自己动手，使其建立起对“线段”、“射线”、“直线”的直观感悟。在红外线的演示下，学生轻松建立了对“直线”、“射线”的“无限”的空间感观。在教师的引领下，学生走出有限的几何观念，形成无限的几何观念，既认识了新知，又感悟到极限思想的巨大价值。

二、细微点——潜移默化地渗透

所谓细微点，就是有一些知识点可以涉及极限思想，也可以不涉及极限思想，但如果涉及极限思想，就可以让学生得到更深刻的认识。对于这些知识点，需要教师教学智慧、教学经验的支撑，更需要教师主观意愿的支撑。如果教师能够把握这些知识点，并进行潜移默化的渗透，就可以让学生体验极限的内涵，提升其数学素养，使其对数学本质的认识更加到位。

如，教学“分数的意义和性质”单元复习课时，一位教师在学生掌握分数大小的基本比较方法后，设计了如下几个有价值的数学问题：

师：你能举出一个比 要小，但又与 很接近的分数吗？

这一问题激起学生的积极联想，很快地举出了 、 ……

教师指着投影上表示 的数轴提问：你们刚才所举的数，如果在数轴上表示出来，应该在哪儿呢？

教师这一问题使学生感受到这些数与表示的点越来越近了，但始终还在 的左边。

师：下面请同学们举出比 大，但又很接近 的数。

这时学生受到上一环节方法的影响，很快地联想到 、 ……

师：刚才大家所举的分数都在 右边，而且与 越来越接近。现在能否举出离 略远一些，但又小于1的分数呢？

这时学生想到“1”可以表示分子、分母相同的数，再结合把 的分子与分母同时乘相同的数。如果学生想到 =1，把分子减去1得到 ，而 > 。教师引导学生依次进行联想，学生先后得到 、 、 ……

师：刚才我们联想到的分数都比1要小，那比1要小的分数，我们又叫它什么数呢？

生：真分数。（师板书：真分数<1）

师：你们还能联想到假分数，举出假分数吗？

随着学生的联想，师板书：假分数≥1。

上述教学环节，教师利用几个问题引导学生围绕着 展开大数、小数的联想。学生的联想不仅是对数与数之间的联想，而且还借助数轴，形象地描述了点与数对应的关系。通过这样的联想，学生进一步认识到任何不同的两数之间存在着无穷多个数（数轴两个不同的点之间有无数个点），也进一步认识到要向一个数无限地靠近，可以利用分数的基本性质把一个分数的分子与分母不断地去乘一个比较大的数，然后把这个分数的分子减去1或加上1，就可以得到与这个数很靠近的数，这就是极限思想的渗透。这种渗透需要教师的精心预设并刻意引导，但对学生来说却是潜移默化的。

三、关节点——深入浅出地渗透

所谓关节点，就是各知识点联结的地方。因此，关节点往往在复习课内碰到。复习课就是把平时相对独立进行教学的知识，特别是其中带有规律性的知识，以再现、整理、归纳等办法串起来，进而加深学生对知识的理解、沟通，并使之条理化、系统化。而能把这些知识串起来的主线往往就是知识的关节点。如果关节点蕴含极限思想，我们就要进行深入浅出地渗透。为此，在上复习课时教师首先要厘清知识之间的内在联系，然后捕捉它们之间蕴含的极限思想，最后有计划地加以渗透。

如，教学六年级下册“平面图形的整理与复习”一课时，我们可以以梯形的面积公式为核心，将其他各个图形联系起来，从而使学生建立更为丰富和合理的认知结构。以梯形为核心进行梳理的主要手段可以借助极限思想将公式进行联络。利用极限思想得到三角形的面积计算公式，方法是让梯形的上底趋于0，梯形即趋于三角形，梯形的面积计算公式当上底趋于0时的极限就是三角形的面积计算公式。我们甚至可以把长方形、正方形、平行四边形面积计算公式都看成是梯形面积计算公式的极限形式。于是，可以构建出图1所示的知识网络系统。

图1

可见，在关节点渗透极限思想是教师深思熟虑的结果，可以更好地完善学生的认知结构。

四、枝节点——有理有据地渗透

所谓枝节点，即在新课巩固环节需要对一些知识进行强化的点。因此，枝节点往往在新课练习中体现。一些教师在练习设计时往往侧重于对基础知识的巩固，针对培养学生数学思想方法的练习题则相对较少。然而，学生的数学思想是靠不断地积累、不断地运用形成的，能够自主运用数学思想解决问题是学生数学素养的高水平体现，它应该贯穿于数学学习的始终。练习作为学生数学学习的重要环节，也应该承担这方面的任务。因此，教师在设计练习题时要根据数学知识的特点，有理有据地渗透极限思想。

如，教学“商不变性质”时，一位教师经历了如下教学片断：

师出示：（32÷□）÷（8÷□）=4。

师：这题怎么填？

生：填4。

师：有不同答案吗？

生：1。

生：可填1～9各数。

生：可填任何数，只要相同就行。

师：你们明白他的意思吗？

生：除0外的任何数都可以。

生：除0外任何相同的两个数。

……

如果仅从解题的角度看，上述这道题，学生很容易找到答案，而且费时不会太多，但学生却得不到此题的精髓，也就是题中所包含的规律，所体现的数学思想。因此，教师应想办法让学生自己挖掘出这些规律和思想。“有不同的答案吗？”激起了学生的思维欲望，思路迅速打开，从而使学生感受到答案的无穷，而答案的无穷也就是极限思想的具体表现，可以使学生头脑中产生朦胧的极限定义。当然，这种无穷是商不变性质的本质体现。可见，在枝节点渗透极限思想，可以让学生更好地、有理有据地认识数学的本质。

总之，极限思想是人类思想文化宝库中的瑰宝，是对数学知识的本质反映，是知识向能力转化的纽带。在小学数学教材中，能够体现数学极限思想方法的素材极为广泛，教师在教学中应潜心挖掘，并抓住适当的时机进行渗透。这样，学生沉淀下来的就不只是数学知识，更主要的是一种数学素养，为他们以后建构新的数学知识体系夯实了基础。

责任编辑：赵关荣