CEV过程下脆弱期权定价研究

袁国军　肖庆宪

摘要：考虑了CEV过程下含有交易对手违约风险的脆弱期权定价。根据无套利原理和偏微分方程方法，建立了CEV过程下脆弱期权定价模型，得到了定价方程。然后基于半离散化方法，给出了数值解法，并对数值结果进行了分析。

关键词：期权定价，脆弱期权，CEV过程

一、引言

近年来，期权的场外市场（OTC Market）发展迅速，但是，由于场外交易的期权不受交易所的担保和保护，使得进入期权交易的双方都有可能违约，都面临着对方的信用风险，从而导致期权可能得不到执行。与交易所期权不同的是，场外市场上的期权持有者面临着对手可能违约的信用风险，Johnson和Stulz[1]将在OTC上交易的含有信用风险的期权称为脆弱期权。

2007年，美国爆发的“次贷危机”再次说明，OTC市场上交易的金融衍生产品存在着严重的潜在信用风险，也使人们认识到了对含有对手信用风险的金融衍生产品进行合理定价的重要性及其现实意义。虽然，目前我国资本市场开放受到限制，商业银行的国内业务发展迅猛，使得我国的金融市场在这次金融危机中受到的冲击有限。但是，随着经济金融全球一体化进程的加剧和我国金融衍生产品市场的迅猛发展，金融机构及其监管部门越来越意识到了对信用风险进行管理并进行合理定价的重要性。因此，合理评估OTC市场上含有信用风险的期权的价值，有助于为我国的信用风险管理及金融市场的健康发展提供理论上的指导和金融技术上的支持。

Johnson和Stulz[1]最先探讨含有信用风险的期权定价问题，他们首先引进脆弱期权这个术语来定义那些含有交易对手违约风险的期权，并指出了此类期权的大量特征，他们的研究实际上是拓展了Merton[2]的公司债券定价模型。Hull和White[3]给出了关于脆弱期权的定价公式。Klein[4]考虑了期权标的资产与对手资产的线性相关性，得到了欧式脆弱期权的定价公式。基于结构化的方法，在随机违约边界与随机利率的假设下，Manuel[5]得到了脆弱期权定价的显示解，推广了Klein模型。Hung等[6]、Chang等[7]分别将Klein的研究结果推广至不完全市场和美式脆弱期权情形。陈超[8]建立了跳-扩散结构下的脆弱期权定价模型。乌画等[9]研究了多元随机波动模型中的信用风险衍生品的定价问题。李平等[10]运用Frechet Copula和相关性测度Kendall 来刻画脆弱期权行权概率与对手违约之间的相关结构，给出了欧式脆弱看涨期权价格的闭形式表达式。理论研究和金融实践发现，期权价格中存在波动率“微笑”特征，针对这一现象，Cox和Ross[11]最早提出了用Constant Elasticity of Variance（CEV）模型来刻画波动率的“微笑”特征。Davydo等[12]对障碍期权和回望期权建立了CEV模型，深入探讨了估價及套期保值等问题。本文在上述文献研究的基础上，利用期权定价的无套利原理和偏微分方程方法，建立了CEV过程下脆弱期权定价模型，然后利用半离散化方法，给出了数值解法，并对数值结果进行了分析。

二、CEV过程下脆弱期权定价模型

为了推导CEV过程下脆弱期权定价模型，作如下假设：

三、半离散化及差分格式

四、数值算例

算例1. 考虑具有下列参数的欧式脆弱期权

图1给出了期权价格与期权价值状况（S/K）之间的关系，从图1可以发现，期权的价格随着期权价值状况（S/K）值的增加而增加，这与市场实际情况相吻合。

算例2. 考虑具有下列参数的欧式脆弱期权

图2给出了期权价格与其交易对手资产价格之间的关系，从图2可以看出，期权交易对手资产价格越高，则期权的价格就越高，这与市场实际情况相吻合。

参考文献：

[1]Johnson H， Stulz R. The pricing of options with default risk[J].Journal of Finance，1987， 42（2）：267 -280.

[2]Merton R. On the pricing of corporate debt：The risk structure of interest rates[J].Journal of Finance，1974，29（2）：449-470.

[3]Hull J， White A. The impact of default risk on the prices of options and other derivative securities[J]. Journal of Banking Finance，1995，19（2）：299-322.

[4]Klein P C. Pricing Black-Scholes options with correlated credit risk[J]. Journal of Banking Finance，1996，20（7）：1211-1229.

[5]Manuel A. Credit risk Valuation-Methods. Models and Applications[M].NY： Springer- Verlag，2001.

[6]Hung M W，Liu Y H. Pricing vulnerable options in incomplete markets[J]. Journal of Futures Markets，2005，25（ 2） ：135-170.

[7]Chang L F，Hung M W. Valuation of vulnerable American options with correlated credit risk[J]. Review of Derivatives Research， 2006，9（2）： 137-165.

[8]陈超.标的资产价格服从跳-扩散过程的脆弱期权定价模型[J].工程数学学报，2008，25（6）： 1129-1132.

[9]乌画，易传和，杜军等.基于多元随机波动模型的信用风险衍生定价[J].管理科学学报，2010， 13（10）：55-62.

[10]李平，曲博，黄光东.基于Frechet Copula的欧式脆弱期权定价[J].管理科学学报，2012，15（4）： 23-30.

[11]Cox J C， Ross S A. The valuation of opt ion for alternative stochastic process[J].Journal of Financial Economics，1976， 3（1-2）： 145- 166.

[12]Davydov D，Linetsky V. Pricing and Hedging Path-Dependent Options Under the CEV Process[J].Management Science，2001，47（7）：949-965.

[13]Cont R， Tankov P. Financial modeling with jump process[M]. Chapman and Hall/CRC， Boca Raton， FL， 2004.

基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171221）