新课标高考中运算能力考查的特点分析

王战普

摘要：新课标高考以能力立意，运算能力是思维能力和运算技能的结合，本文结合高考试题分析运算能力的考查特点，即更侧重与考查包括分析运算条件、研究运算方向、选择运算公式、确定运算路径等一系列过程中的思维能力。

关键词：新课标高考；运算能力

新课程数学高考，更加重视对能力的要求，强调“能力立意”而非“知识立意”。以“能力立意”为统领的命题技术最大的特点是在考察学生基础知识的同时，将学生大脑中依附于数学知识的数学能力由浅入深展示出来。新课标强调五种能力两种意识，运算求解能力是其中之一。

运算能力是思维能力和运算技能的结合。运算能力的核心包括合理、准确、熟练、简洁四个维度，而准确是运算的基本要求，也是最低层次的要求；运算的熟练，属于技能的范畴。新课标高考更侧重与考查包括分析运算条件、研究运算方向、选择运算公式、确定运算路径等一系列过程中的思维能力，以及在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力，即重在运算策略的选择。

运算能力的考察在新课程背景下主要集中在复数、三角函数恒等变换、数列、解析几何四部分，以近三年的高考试题为例展开说明：

一、复数

复数在高考中通常是考察复数的概念、复数的几何意义和复数的四则运算。在能力立意的背景下，复数又逐渐承担了考察运算能力的功能。

例1（2011年新课标全国卷第1题）复数■的共轭复数是（ ）。

A.-■i B.■i C.-i D.i

解：解法一：■=■=i，共轭复数为-i，故选C

解法二：■=■=i，共轭复数为-i，故选C。

分析：试题中的复数精心设计，设计为分子和分母有一定的关系，以此来考查考生的观察能力和优化解题过程的能力。试题的设计使对基础知识的考查和能力的考查巧妙结合，满足了不同基础和能力的考生的需求，彰显了新课标的理念。解法一学生可能要30秒，而解法二只需2秒，节约了时间，时间就是考试的生命，准确提高质量，就能赢得更高的分数。

二、三角函数恒等变换

三角恒等变换的定位其中之一就是对学生进行恒等变形的训练，就是把复杂的关系用简单的形式表示出来。由于三角函数恒等变换公式较多，这一部分的试题常常新颖别致，解法灵活多样，既考察学生的基础知识，又能考查考生是否能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径。

例2（2010年新课程全国卷第9题）若，cosα=-■，α是第三象限的角，则■=（ ）。

A.-■ B.■ C.2 D.-2

解法一：由cos2■=■，sin2■=■，得tan2■=■=9

因为α是第三象限的角，则■是第二象限或第四象限的角，所以tan■=-3，原式=-■

解法二：tanα=■tanα=■，解得tan■=-3，tan■=■

因为α是第三象限的角，则■是第二象限或第四象限的角，所以tan■=-3，原式=-■

解法三：由tan■=■=■=■=-3则■=-■

解法四：■=■=■=■=-■

分析：解法一、二常规但很繁琐，解法三较抓住了tan■与cosα，sinα之间的关系，简化了求半角的过程；解法四抓住了目标式子的结构特征得到了简化。学生必须探究并确定运算的方向，恰当选取运算公式和知识点，最终确定自己的求解程序，不同的学生构造了不同的解题流程，显示出学生对知识的深层把握。优秀的学生能够设计简洁流畅的思路，减少了运算量，当然也就减少了出错的可能性。

三、数列

数列在旧大纲中主要以压轴试题出现，考察学生的逻辑推理能力，运算能力和综合运用知识的能力，新课标背景下，数列的定位是作为一类特殊的函数有着广泛的应用和提高学生的恒等变换的能力。

例3（2012年新课标全国卷理16）数列{an}满足an+1+（-1）nan，=2n-1，则{an}的前60项和为 。

解法一：令a2-a1=1，a3+a2=3，a4-a3=5，a5+a4=7，a6-a5=9，a7+a6=11，…a59+a58=115，a60-a59=117，n为奇数时的30个式子相加可得S偶-S奇=1770

又a4+a2=a4-a3+a3+a2=8，同理可推出a8+a6=24，…a60+a58=232

S偶=1800，S奇=30，前60项的和为1830。

解法二：a1=a1，a2=1+a1，a3=2-a1，a4=7-a1，a5=a1，a6=9+a1，a7=2-a1，a8=15-a1……由于，S4=10，S8-S4=26，S12-S8=42，…，所以S4k-S4（k-1）是以10为首项，16为公差的等差数列因为求S60，所以共有15项，S60=15×S4+■×15×14×16=1830

解法三：令a1=1，a2=2，a3=1，a4=6，a5=1，a10=10，a7=1，a8=14，…猜想每逢奇数项都1，偶数项为首项为2，公差为4的等差数列，故结果为1830。

分析：通过赋值，把n=1到n=60都列了出来，再进行归纳，是最容易想到的运算思路，此为解法一；题目条件以递推的形式给出但是缺少首项，根据解题经验可以用首项去表示后面所有项，再发现规律，此为解法二；没有给首项，即与首项值没有关系，给a1赋特殊值即可，此为解法三。此题考查的知识点很少，把运算技能和思维能力作为考查的重点。

四、解析几何

解析几何试题因其计算量大，综合性强，成了历年来学生感到困难的试题。新课标的解析几何试题正逐步淡化特殊技巧，注重通性通法，尽量控制试题的运算量，而增加思维量，即“少考算，多考想”。2012年的高考试题很好体现了这一点。

例4（2012新课标全国卷理20）设抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；

（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为4■；求P的值及圆F的方程；

（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.

解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2P，点A到准线l的距离，d=|FA|=|FB|=■P，S△ABD=4■？圳■×|BD|×d=4■？圳P=2

圆F的方程为x2+（y-1）2=8

（2）由对称性设，则A（x0，■）（x0>0），则F（0，■）

点A，B关于点F对称得：B（-x0，P-■）？圯P-■=-■？圳x02=3P2

得：A（■P，■），直线m：y=■x+■？圳x-■y+■=0

x2=2py？圳y=■？圯y′=■=■？圯x=■P？圯切点P（■，■）

直线n：y-■=■（x-■）？圳x-■y+■P=0

坐标原点到m，n距离的比值为■：■=3

分析：不难看出整个试题的运算量不大，本题改变以往第一问简答的模式，两问都需要分析条件，找到运算的途径。第一问，是用S=■×底×高，或者是S=■absinc，根据题意应选择公式S=■×底×高，那个边为底？就需要考生分析研究△BFD，结合图象信息，不难得出△BFD是等腰直角三角形，面积自然表达出来了；第二问求“坐标原点到距离的比值”需要确定直线的方程，运算的路径是从“三点在同一直线m上”这个信息得出A的坐标，进而求两条直线的方程。

从上面的列举的试题来看，运算能力的考察不是单一进行的，而是和思维能力和运算技能相结合，选取合理简洁的路径是运算能力的考查的重点，集中体现在函数、方程、不等式的综合，向量与解析几何这两类题中。这就需要我们在高三复习中，不但要正确解决问题，而且要尝试从不同的角度去解决问题，优化解题思路，挖掘解题的深层规律，掌握知识的核心，从而达到高考要求的合理、准确、熟练、简洁四个维度。

【责编 张伟飞】