巧用构造法 速解数学题

赵丽辉

运用构造法解题，是在解题的思维过程中，对已有的知识和方法采取分解、组合、变换、类比、限定、推广等手段进行思维的再创作，充分渗透了猜想、归纳、试验、概括、特殊化等重要的数学方法，通过利用各部分知识之间的内在联系和性质或形式上的某种相似性，有目的地构造一个特定的数学模型，使问题在该模型的作用下实现转化，从而迅速、简洁、新颖、独特地获解。构造法的运用有利于提高我们的创新意识，培养我们的求异思维创造性思维，提高分析问题和解决问题的能力。笔者下面举例说明这种解题思想的优越性和巧妙性。

一、构造方程

若问题中某些变量的范围符合方程的某些特点，我们可以考虑构造一个辅助方程，然后通过解方程或对方程的研究使问题简捷获解。

例1.求同时满足下列各条件的所有复数z：（1）z+■是实数，且1

解析：设z+■=m，由于z·■=10，故构造关于z的二次方程：z2-mz+10=0

∵1

∴m只可能取值2、4、6。

当m=2时，z=1±3i；m=4时，z=2±■i（舍去）；m=6时，z=3±i。

综上所述知，z=1±3i或3±i。

二、构造函数

如果给出的问题本质上是关于函数的理论，则该问题可通过设辅助函数，把题设条件和所给的量关系进行调整，重新组合，转化为研究函数性质的问题，进而使问题获得解决。

例2.设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的两个根x1、x2满足0

证明：欲证f（x）>x，即f（x）-x>0，又已知方程f（x）-x=0的根的情况，由此可构造函数F（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+c（a>0）。因方程f（x）-x=0的两根为x1、x2，故可设F（x）=a（x-x1）（x-x2）。由00，所以F（x）=f（x）-x=a（x-x1）（x-x2）>0，f（x）>x。

又x1-f（x）=x1-[F（x）+x]=x1-x-a（x-x1）（x-x2）=（x1-x）[1+a（x-x2）]，由00，1+a（x-x2）=1+ax-ax2>1-ax2>0，f（x）

三、构造几何体

通过构造一个熟悉的几何体，利用其特有的性质解决原问题，这是解立体几何常用的方法。

例3.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面的面积是（ ）

A.4π B.■ C.■ D.■

解析：构造正三棱锥O—ABC，如图1。O为球心，设OO1为正三棱锥O—ABC的高，则O1为△ABC的中心，易知AO1=■■。又OO1=■，OA=R。

在Rt△ABC中，有R2=（■）2+（■■）2，据此可得：R=■。所以S=4πR2=■，故本题应选D。

四、构造几何模型

构造图形的实质就是“数转化为形”，如果条件的数量关系能以某种方式与几何图形建立联系，则通过构造图形，将题设条件或数量关系直接在图形中得到体现，常会使问题简单化，抽象问题直观化。

例4.已知椭圆■+■=1（a>0，b>0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）。证明：-■

证明：以P（x0，0）为圆心，|PA|=r为半径构造圆（x-x0）2+y2=r2，则由b2x2+a2y2=a2b2（x-x0）2+y2=r2

消去y2得：■x2-2x0x+（x02+b2-r2）=0

设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则x1+x2=■x0

又x1，x2∈[-a，a]，且x1≠x2，则-2a

五、构造数列

某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题，或当题目的某些特征与数列的通项、求和、中项等公式相似时，均可构造相应的数列求解。通过等差或等比数列解决问题，或转化成单调数列的讨论，利用其单调有界性，完成数列不等式的证明。

例5.证明不等式1+■+■+…■<2■（n∈N）。

证明：设an=2■-（1+■+■+…■），

an+1-an=2■-2■-■=■=■>0

则an+1>an，数列{an}是单调递增数列，因此an>an-1>…>a1=1>0，即1+■+■+…■<2■。

六、构造对偶（称）式

构造对偶式解题，尤其是解三角试题，方法新颖独特，简洁快速。

例6.求sin220°+cos250°+sin20°cos50°

解析：設m=sin220°+cos250°+sin20°cos50°，n=cos220°+sin250°+cos20°sin50°，

则m+n=2+sin70°，m-n=cos100°-cos40°-sin30°=-2sin70°sin30°-■=-sin70°-■

∴2m=2-■=■，m=■。

七、构造向量

对于求证式中含有乘积的和及乘方的和时，可考虑构造适当的向量，利用向量积公式：■·■=|a|·|b|·cosθ≤|a|·|b|及其坐标表示的公式来证。

例7 .求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca。

证明：构造向量■={a，b，c}，■={b，c，a}。则有：|■|=■，|■|=■。

又■·■=|■|·|■|·cosθ≤|■|·|■|=a2+b2+c2，·=ab+bc+ca，从而a2+b2+c2≥ab+bc+ca。

通过对上述一些例题的解析，大家不难看出，在如此众多的构造途径中，有很大的灵活性和创造性，因此我们在求解此类问题时，应多角度、多方位、多层次地去思考、探索、分析，从中选择合理的方法、恰当的途径，力求取得事半功倍的效果。 【责编 张伟飞】