三角函数背景下应用题的突破策略
2013-04-29王小青
三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其它领域中具有重要作用．三角函数既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习的基础．在学习过程中，建立三角函数模型将实际问题转化为数学问题，是解决三角函数实际问题的关键．
解决三角实际问题的关键有三点：一是仔细审题．仔细审题，准确理解题意，分析条件和结论，明确问题的实际背景，理清问题中各个量之间的数量关系；二是合理选取参变量．设定变元，寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系；三是建立与求解相应的三角函数模型．将文字语言、图形数表语言、符号语言等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，求解数学模型，得出数学结论．
一、常见的三角函数模型
1．转化为三角函数的一次型函数y=Asin（ωx+φ）+k模型
例1 某港口每年的10月份的海潮都有如下的规律：相邻两次高潮发生间隔为12h20min，低潮时水的深度为2．8m，高潮时水深为8．4m，一次高潮发生在10月3日2：00．若从10月3日0：00开始计算时间，可以用三角函数d=Asin（ωt+φ）+k（A>0，ω>0，－π2<φ<π2）来近似地描述这个港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系．
（1）请求出函数的表达式；
（2）求10月5日4：00水的深度；
（3）一只轮船吃水深度为5m，该港口安全条例规定：船底与海底安全间隙的最小值为1．5m，问10月3日12时至16时这条轮船能否进入该港口？
（参考数据：cos4π37≈910，cos29π74≈928）．
分析 港口的海潮是有周期的规律，所以题目直接给出实际问题的三角函数的一次型函数模型，求解时只要根据条件直接确定A、ω、φ、k的值．
（1）由条件可知：A+k=8.4，－A+k=2.8，则A=2.8，k=5.6；又周期T=1213=2πω，解得ω=6π37；当t=2时，ωt+φ=π2，则6π37×2+φ=π2，φ=13π74．
从而d=2.8sin（6π37t+13π74）+5.6．
（2）d=2.8sin（6π37×52+13π74）+5.6=2.8cos4π37+5.6=2.8×0.9+5.6=8.12．
（3）d=2.8sin（6π37t+13π74）+5.6≥6.5，则sin（6π37t+13π74）≥928=cos29π74=sin4π37．
当12 即9π74<6π37t+13π74－2π<57π74，而sin9π74>sin4π37，sin5774π=sin1474π>sin4π37． 故10月3日12时至16时这条轮船能够进入该港口． 点评：已知三角函数一次型函数模型，其中A的值与变化的幅度有关，即A=ymax－ymin2；ω的值与周期有关，即ω=2πT；φ的值与初相有关． 例2 如图，在半径为R、圆心角为60°的扇形AB弧任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，求这个矩形面积的最大值． 分析 要求扇形的内接矩形的面积最大值，首先要表示矩形的面积，由于已知条件是与角有关的条件，所以考虑设角为自变量来表示矩形的面积． 设∠POB=θ，所以PN=Rsinθ，ON=Rcosθ，又OM=QMtan60°=PNtan60°=33Rsinθ， 则MN=Rcosθ－33Rsinθ，所以S=（Rcosθ－33Rsinθ）Rsinθ，利用三角公式变形整理得S=36R2［2sin（2θ+π6）－1］，θ∈（0，π3）．则易求得当θ=π6时最大值为36R2． 点拨 根据问题中面积的定义，通过设角，找到各个量之间的关系，再利用三角公式将实际问题转化为三角函数的一次函数模型． ２．转化为三角函数的分式函数模型 例3 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为y km． （1） 设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数； （2）确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短． 分析 本题已经设了辅助角，根据图形特点，知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），则OA=AQcosθ=10cosθ， 故OB=10cosθ，又OP=10－10tanθ， 所以y=OA+OB+OP=10cosθ+10cosθ+10－10tanθ， 所求函数关系式为y=20－10sinθcosθ+10（0≤θ≤π4），可利用导数求最值． 此时点P位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边1033km处． 点拨 通过设角，根据图形特点，利用角θ表示各个量之间的关系式，建立的是三角函数的分式函数模型，求解最值时往往通过导数求得结果． 3．转化为三角函数的“勾型函数”模型 例4 如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上的点P0出发，沿与AB的夹角为θ的方向射到边BC上点P1后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD、DA和AB上的P2、P3、P4处．若P4落在A、P0两点之间，且AP0=2．设tanθ=t，将五边形P0P1P2P3P4的面积S表示为t的函数，并求S的最大值．
分析 要求面积的最大值，首先要表示出面积，根据反射的定义知四个三角形P0BP1、P1CP2、P2DP3、P3AP4中的角有相互关系，所以设角P1P0B为θ，则P1B=tanθ，则P1C=2－tanθ， P2C=P1Ctanθ=2－tanθtanθ=2tanθ－1，P2D=4－2tanθ，P3D=4tanθ－2，P3A=4－4tanθ，AP4=4tanθ－4．
因为P4落在A、P0两点之间，所以23 S=S四边形ABCD－S△P0BP1－S△P1CP2－S△P2DP3－S△P3AP4=6－12tanθ－12（2－tanθ）（2tanθ－1） －12（4－2tanθ）（4tanθ－2）－12（4－4tanθ）（4tanθ－4）=58－（34tanθ+24tanθ） =32－（17t+12t）．由于23 故S的最大值为32－451． 点拨 若问题中的多个图形的角度相互之间具有一定关系，通过设辅助角表示所求的问题，建立的模型是三角函数的分式函数模型，求解的方法一是利用基本不等式；二是求导等． 4．转化为自变量角θ和三角函数组合的超越模型 例5 如图现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB．现欲在弧AB上取不同于A、B的点C，用渔网沿着弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半径OC和线段CD（其中CD∥OA），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA＝1km，∠AOB＝π3，∠AOC＝θ，求所需渔网长度（即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和）的取值范围． 分析 渔网长度是三段之和，分别用θ表示三段弧AC、半径OC和线段CD长度， 设渔网的长度为f（θ），由CD∥OA，∠AOB=π3，∠AOC＝θ，得∠OCD＝θ，∠ODC=2π3，∠COD=π3－θ，在△OCD中，由正弦定理，得CD=23sin（π3－θ），θ∈（0，π3） 所以f（θ）=θ+1+23sin（π3－θ），所以f′（θ）=1－23cos（π3－θ），因为θ∈（0，π3），所以π3－θ∈（0，π3），令f′（θ）＝0，得cos（π3-θ）＝32，所以π3－θ＝π6，所以θ＝π6． θ（0，π6）π6（π6，π3） f′（θ）＋0－ f（θ）极大值 所以f（θ）∈（2，π＋6＋236］，故所需渔网长度的取值范围是（2，π＋6＋236］． 点拨 在求解涉及到角度与三角函数组合的函数模型时，常常用导数来求解． 5．转化为三角形中的三角函数模型 例6 在面积为2的△ABC中，E、F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则PC·PB+BC2的最小值为_____________． 分析 解决三角形中的最值问题有两种思路，一是设边长来表示所求的量，二是设角来表示所求的量．设∠BPC=θ，BP=a，PC=b，BC=c，absinθ=2，c2=a2+b2－2abcosθ， 则PC·PB+BC2=abcosθ+c2=a2+b2－abcosθ≥2ab－abcosθ=2（2－cosθsinθ），下面通过求导，可得当cosθ=12时，PC·PB+BC2有最小值23． 点拨 三角形中的有关边的最值问题常常是转化为角的某个三角函数模型，再通过求解函数的最值的有关方法来求解． 二、应用 1．已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则ACBC+BCAC+AB2BC·AC的最大值为 ．（22） 2．如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+2π3）（A>0，ω>0），x∈［-4，0］时的图象，且图象的最高点为B（－1，2）．赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE． （1）求ω的值和∠DOE的大小； （2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值． y=2sin（π6x+23π） x=0 y=3则∠DOC=π4 ∠DOE=π4.矩形面积S=6sinθ·（6cosθ-6sinθ） 求极大值得θ=π8时，S=3（2-1） 总之，在求解三角函数背景下的应用题时，我们要善于选择恰当的变量，建立与三角函数有关的函数模型，通过利用三角函数的性质、基本不等式、求导等途径求解最值，进而解决实际问题． （作者：王小青，江苏省如皋中学）
