“一副三角板”中的数学问题探索与思考

王艳华

摘 要：一副三角板对于学生来说司空见惯，熟悉得不能再熟悉了，对它们的性质及边角关系也理解得比较透彻。鉴于此，中考命题人员对一副三角板也进行了研究，并且研究出了不少新颖的题目。就对近几年的中考题目进行梳理，以飨读者。

关键词：三角板；中考；类型

第一类：填空类

1.一副三角板按如图1放置，则∠α= 度.（有以下八种形式）

2.一副三角板按如图2放置，已知AB=4■，DE=6.则EB= .

这一类题目用的知识少，也只考查了三角形的性质及其特殊角的三角函数.学生一般情况下都能做对，也是学生容易拿分的题目，属于容易题.

第二类：选择类

3.（2011淄博）一副三角板按图3所示的位置摆放.将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图4），测得CG=10 cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（ ）

此题是把解（直角）三角形问题融入一个具体环境中，比较新颖，可见命题人的匠心，学生只要认真思考是可以解决的.

第三类：解答类

4.一副直角三角板如图5放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长.

此题运用三角函数，平行线的性质等知识，解决难度不大，不过需作辅助线，学生是可以解决的，属于中档题目.

第四类：操作类

5.一副直角三角板叠放如图6所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°<α<180°），使两块三角板至少有一组边平行。

（1）如图7，α=______°时，BC∥DE；

（2）请你分别在图8、图9的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：

这类题目设计得有挑战性，也很有可操作性，考查了学生的动手能力和观察能力.同时也考查了学生的分类思想，是一道比较好的题目.难度也不大，若改为不画出后两种图形，让学生探索，就有难度了，情况不仅仅是两种了.

第五类：探究类

6.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图10、11.图10中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6 cm；图11中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm.图12是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动.在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）.

（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 .（填“不变”“变大”或“变小”）

（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？

问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？

问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由.

请你分别完成上述三个问题的解答过程.

此题是一个探究类题目，充分运用观察、猜想、归纳等分类数学思想方法，是一个很不错的题目.运用了平行线的性质、三角形的性质、三角函数、勾股定理、一元二次方程等知识，达到了综合题的高度，也体现了考查学生的综合数学素养的要求。

从以上五种类型的题目可以看出，一副三角板中蕴涵着丰富的思维宝藏，只要我们做学习上的有心人，善于观察与思考，就能发现数学就在身边，数学无处不在；只要我们肯用心，就能发现数学，就能发别人之未发。

（作者单位 山东省菏泽市牡丹区21中）