利用设而不求解题

王玉建

摘 要： 在解析几何解题过程中经常遇到中点问题，多种解法中，设而不求是解此类问题的较为简便解法。即设出以某点为中点的弦的两个端点，代入曲线方程，两方程相减，目的凑斜率凑中点，这种方法简称设而不求，在解决中点问题中有广泛的应用.

关键词： 设而不求 中点问题 解析几何

1.已知弦中点求直线方程

例1：在椭圆3x +4y =12内有一点P（1，1），求以P为中点的弦所在的直线方程.

解析：设以P为中点的弦的两个端点A（x ，y ），B（x ，y ），显然x ≠x

则3x +4y =12（1）

3x +4y =12（2）

（1）-（2）得：3（x +x ）（x -x ）+4（y +y ）（y -y ）=0

∵x +x =2，y +y =2，直线斜率k=-

∴所求直线方程为3x+4y-7=0

本题属于已知中点求出斜率，进而求出直线方程.

2.求过定点的弦的中点的轨迹方程

例2：求在椭圆3x +4y =12内过一点P（0，1）弦的中点的轨迹方程.

解析：设弦的中点M（x，y）两端点A（x ，y ），B（x ，y ）

则3x +4y =12（1）

3x +4y =12（2）

（1）-（2）得3（x +x ）（x -x ）+4（y +y ）（y -y ）=0

3x =x 时，M（0，0）

当x ≠x 时，3×2x+4×2y×k =0

又∵k =k =

∴3x+4y× =0

即3x +4y -4y=0

M（0，0）亦适合3x +4y -4y=0

∴所求过P（0，1）的弦的中点的轨迹方程为3x +4y -4y=0.

本题属于过定点弦中点轨迹问题，关键在于斜率的表示方法.

3.已知斜率时，求弦的轨迹方程

例3：在椭圆x +2y =2内，求斜率为2的弦的中点的轨迹方程.

解析：设弦的中点M（x，y），两端点P（x ，y ），Q（x ，y ）

则x +2y =2①

x +2y =2②

①-②得（x +x ）（x -x ）+2（y +y ）（y -y ）=0

∴x+4y=0

由x+4y=0 x +2y =2得x=±

∴所求的轨迹方程为x+4y=0（-

本题属于已知斜率求中点轨迹问题，利用设而不求很容易解决.

4.利用设而不求，解决探索性问题

例4：在双曲线 -y =1内，是否存在以P（1，1）为中点的弦，若存在求出来，若不存在说明理由.

解析：设存在以P（1，1）为中点的弦的两端点P（x ，y ），Q（x ，y ）

则x -2y =2①

x -2y =2②

①-②得：（x +x ）（x -x ）+2（y +y ）（y -y ）=0

∵x +x =2，y +y =2，直线斜率k=

∴得直线方程为x-2y+1=0

由x-2y+1=0与 -y =1相结合得x -2x-5=0，判别式δ>0满足题意条件.

∴所求的弦所在直线方程为x-2y+1=0.

本题是探索性问题，双曲线中点问题中最后需要利用判别式△进行检验，若△≤0则说明满足条件直线方程不存在.

5.利用设而不求解决对称问题

例5：若抛物线y=ax -1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点A，B.求a的取值范围.

设AB的中点M（x ，y ），两点A（x ，y ），B（x ，y ）

则y =ax -1①

y =ax -1②

①-②得y -y =a（x +x ）（x -x ）

∴x = ，y =-

∵M（x ，y ）在拋物线内部

∴x < ，从而得到a> .

本题属于对称问题，找出中点坐标表达式，根据中点在抛物线内部限定，从而求出a的范围，可见在解决中点问题设而不求有很重要的作用.