浅谈利用几何图形构造不等式

杜颖

【摘 要】形象思维是最早出现的，在数学研究和教学中都起着重要的作用。正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。

【关键词】不等式；离心率；三角函数；判别式

一、利用离心率构造不等式

我们知道，椭圆离心率e∈（0，1），抛物线离心率e = 1，双曲线离心率e>1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.

例1已知梯形ABCD中，│AB│=2│CD│。点E分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率e取值范围。

所以双曲线离心率。

二、利用三角函数的有界性构造不等式

曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。

例2 若椭圆x2+4（y-a）2 = 4与抛物线x2=2y有公共点，

求实数a的取值范围.

分析： 利用椭圆的参数方程及抛物线方程，得到实数a与参数θ的关系，再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.

解：设椭圆的参数方程为 （θ为参数）

代入x2=2y 得

4cos2θ= 2（a+sinθ）

∴a = 2cos2θ-sinθ=-2（sinθ+ 14 ）2+ 178

又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178

三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式

曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P在曲线上，则f（x0，y0）=0；若P在曲线内，则f（x0，y0）<0；若P在曲线外，则f（x0，y0）>0；可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题.

例3 已知椭圆。A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（x0，0），证明：。

分析：注意到P（x0，0）为AB的垂直平分线上的点，所以│PA│=│PB│，利用平面几何性质，A、B在以P点为圆心，│PA│为半径的圆上，从而把问题转化为二次曲线的交点关系。

解：由线段AB的垂直平分线交x轴于点P，于是有│PA│=│PB│。

所以A、B在以P（x0，0）为圆心，r=│PA│为半径的圆上，圆方程为（x-x0）2+y2=r2

又A、B在椭圆上，所以由得：

设A（x1，y0），B（x2，y2），则x1，x2是方程<1>的两根

四、利用判别式构造不等式

在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.

例4 已知L1与L2是过的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，求l1的斜率k1的取值范围。

解：设l1的方程为

代入双曲线方程并整理得：

由于l1与双曲线有两个交点，所以

Δ=8k12-4（k12-1）·（2k12-1）>0，即

又由l2与双曲线也有两个交点且l1⊥l2，同理可得

五、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

利用曲线方程中变量的范围构造不等式例如曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.

例5 设点P到点M（-1，0），N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。

解：设点P的坐标为（x，y），依题设得

即y=±2x（y≠0）<1>

因此点P（x，y），M（-1，0），N（-1，0）三点不共线

所以││PM│-│PN││<│MN│=2

因为││PM│-│PN││=2│m│>0，

所以0<│m│<1，因此点P在以M、N为焦点，实轴长为2│m│的双曲线上，故

将<1>代入<2>得：

因为1-m2>0，所以1-5m2>0

所以

即m的取值范围为

上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍，能让同学们了解这类问题的常用求法，并能认真体会、理解掌握，在以后的学习过程中能够灵活运用。