数学的奇异美

廖红菊

【摘要】数学的美是千姿百态、引人入胜的.奇异美主要表现在奇特、巧妙、非常规和突变，让人体验到数学的神奇与美丽.

【关键词】虚数；实数；级数；数列

培根说 “没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇异”.数学公式的简洁、结果的突变、解法的独特等，无不蕴含着数学的奥妙与魅力，展现出奇异之美！

1.五个最常用数的神奇聚集

在复数的三角形式eiθ=cosθ+isinθ中，当θ=π时，eiπ=-1，于是有eiπ+1=0，这就是著名的欧拉公式.它漂亮简洁地把数学中五个最常用、最基本、最重要的数1，0，π，e，i聚集在一起，巧妙神奇地体现了数学的奇异之美.

美国数学史家克莱因说：没有一个人像欧拉那样多产，像他那样巧妙地把握数学；也没有一个人能以采集和利用代数、几何分析的手段去产生那么多令人钦佩的结果.如今以欧拉命名的定理、方程、公式多不可数，克莱因认为，eiπ+1=0是整个数学中最卓越的公式之一.

2.ii竟是实数

我们知道，i是虚数单位，即i2=-1， i=-1.关于虚数有很多迷人的性质，如ii竟是实数，这一结论确实让人质疑，但欧拉公式eiπ+1=0可以证明它.由欧拉公式有eiπ=-1，于是eπ2i=-1=i，所以ii=（eπ2i）i=e-π2是一个无理数.易知i-i和ii都是实数，因为i-i=eπ2，ii=i1i=i-i=eπ2.

3.调和级数1+12+13+…+1n+…却是无穷大

对调和级数虽有limn→∞1n=0，但却有limn→∞1+12+13+…+1n+…=∞.

事实上，关于调和级数有关系式limn→∞（1+12+13+…+1n-lnn）=c（c是欧拉常数0.577216…），也即limn→∞1+12+13+…+1nlnn=1.

即当n→∞时，1+12+13+…+1n与lnn是等价无穷大.

4.级数1+122+132+…+1n2+…=π26

级数1+122+132+…+1n2+…的每一项都是有理数，但其和却是无理数π26.因为sinx的麦克劳林展式为sinx=x-x33！+x55！-x77！+x99！-….

于是sinxx=1-x23！+x45！-x67！+x89！-….

欧拉认为sinx=0有无限多个根：x=0，±π，±2π，±2π，±4π，….

于是sinxx=0也有无限多个根：x=±π，±2π，±2π，±4π，….

可以得到： sinxx=1-x23！+x45！-x67！+x89！-…=（1-x2π2）（1-x24π2）（1-x29π2）….

这是一个无穷多项和等于无穷多项积的方程，把无穷多项的积算出来，再比较两边x2的系数，就可以得到13！=1π2+14π2+19π2+…，也就可求出1+14+19+…+1n2+…=π26.这是极其独特和谐、令人吃惊的等式，其推导方法也是极其巧妙的！

5.整数数列通项公式的无理表达

假定一对幼兔（雌雄各一个），幼兔出生后第二个月就长为成兔，有生殖后代的能力，每月生一对小兔（雌雄各一个），那么这一对兔子如此繁殖，第n个月兔子繁殖的总数是多少？

分析题意，可得一对兔子如此繁殖，每月兔子总数依次是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，….

这个无限数列就是著名的斐波那契数列，其中每一项叫做一个裴波那契数.若用un表示数列的第n项，则有un=un-1+un-2，进而可推出un=151+52n-1-52n，它是裴波那契数列的通项公式.一个有理数列的通项公式却由一个无理数表示，且形式极其对称与和谐，无不让人感到奇妙！

数学公式、结论、解题方法等中呈现的数学的奇异美，可谓美不胜收，让人为之赞美，为之陶醉！