重视课本习题的演变

陈永飞

摘要：课本习题是把知识、技能、思想和方法联系起来的一条纽带， 重视习题的演变是提高学生解题能力、掌握数学方法的重要途径。在教学中，如果我们善于以课本习题为根本，以习题作为思维的生长点，深入挖掘习题的内涵，把课本的习题加以适当变式、多角度寻求不同的解题途径、全方位地引导鼓励学生积极去归纳、拓展、延伸。这样对提高学生数学解题能力，发展学生智力都能起到事半功倍的作用。

关键词：习题；类比；多角度；延伸

近年来梅州市的中考试题和有关辅导资料中，出现了一类试题，它们都以课本例习题为原型，并在此基础上综合、变化、拓展。体现了命题源于课本的趋势，符合中考说明中所提出的命题原则：“以纲为纲、以本为本”。如2012年梅州市中考试题第19题，如图1，AC是⊙O的直径，弦交于点D。

（1）求证：△ADE∽△BCE；

（2）如果AD2=AE·AC，求证：CD=CB。

分析：（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B。又由对顶角相等，可证得△ADE∽△BCE。

（2）由AD2=AE·AC可得■=■，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，以求得AC⊥OB，由垂径定理即可证得CD=CB。该题以三角形和圆为素材，涉及三角形相似的判定和性质、圆周角性质、垂径定理等基础知识，此题难度不大，注重数形结合思想的应用。但本题的得分率不高，究其原因是，学生对基础知识掌握不牢，对课本习题不够重视，本题在教科书中能找到眼熟的影子，它们解答的方式与本题几乎同出一辙，如果善于归纳总结，考生完全可以很快找到解题的切入点。

试题原型：（北师大版九年级下册156页34题）如图2，A，B，C，D是⊙O的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，求AB的长。

事实上，课本上的每一道习题，都是专家精心编写而成的，难度适中，具有一定的典型性、示范性和探索性，所蕴含的内容相当丰富。在教学中，如果我们善于以课本习题为根本，以习题作为思维的生长点，深入挖掘习题的内涵，把课本的习题加以适当变式、多角度寻求不同的解题途径、全方位地引导鼓励学生积极去归纳、拓展、延伸，这样对提高学生数学解题能力，发展智力都能起到事半功倍的作用。下面笔者结合自己在常规教学中的粗浅教学实践、做法与体会与大家分享、交流与探讨，不妥之处，恳请各位专家、同行批评指正。

一、注重基础知识的类比，强化知识网络

从学习的角度来看，初中学生正处于体能、智力的发展阶段，他们对世界感到陌生和好奇，在学习新知识和解决新问题中，不是缺乏已有的知识，而是缺少把新知识与旧知识的恰当类比。因此，在教学过程中，教师要注重基础知识的类比，不但要注重知识表面，更要注重知识的“生长点”和“延伸点”，还要注重知识之间的逻辑联系，把局部的数学知识置于整体知识的体系中，引导学生加强对于数学的整体把握和宏观认识，为提高学生的数学素养打下扎实的基础。

案例1：（如图3）在△ABC中，∠A=68°，点I是内心，求∠BIC的大小（北师大版九年级下册P131第2题）。

分析：点I是内心，说明I是△ABC的三条内角平分线的交点，即BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB；根据三角形内角和定理可求∠ABC与∠ACB的和，即可求∠IBC与∠ICB的和，从而可求∠BIC的大小。

变式1，（如图4）在△ABC中，∠A=68°，点I是垂心，求∠BIC的大小。

分析：点I是垂心，说明I是△ABC的三条高所在直线的交点。分别延长BI、CI，从而轻松求出∠BIC的大小。

变式2，（如图5）在△ABC中，∠A=68°，点I是外心，求∠BIC的大小。

分析：点I是外心，说明I是△ABC的三条边的垂直平分线的交点。连接AI，可得AI=BI=CI，进而求出∠BIC的大小。

通过上述变式，使学生掌握了内心、垂心、外心的定义和性质，同时又掌握了三者的区别和联系，培养学生严密的数学逻辑思维和严谨的学习态度。

案例2：做一做：任意作一个四边形，并将其各边中点依次连接起来，所得的四边形的形状有什么特征？（北师大版九年级上册P91做一做）

变式1，求证：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形。

变式2，求证：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形。

变式3，求证：顺次连结正方形各边中点所得的四边形是正方形。

变式4，顺次连结什么四边形中点可以得到矩形？

变式5，顺次连结什么四边形中点可以得到菱形？

通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地活跃学生思维，激发学习兴趣。

二、注重多角度分析，优化解题思路

在教学过程中，通过对课本习题的多角度观察、分析、联想获得多种解题途径，能够拓宽学生的思路，使学生感受到数学的奥妙与情趣，從而培养学生的创新意识，优化解题思路。

案例3：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（北师大版九年级数学（上）习题3.4第2题）

已知：如图6，在△ABC中，AD=BD=CD。

求证：△ABC是直角三角形。

证法1：如图6，利用两锐角互余。

∵AD=CD，CD=BD，

∴∠1=∠A，∠2=∠B。

在△ABC中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，

∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°，

∴2（∠A+∠B）=180°，

∴∠A+∠B=90°，∴∠ACB=90°

∴△ABC是直角三角形。

证法2：如图7，利用等腰三角形的三線合一。

延长AC到E使CE=AC，连接BE。

∵AD=BD，

∴CD是△ABE的中位线，

∴CD=■BE，

∵CD=■AB，

∴AB=BE，BC⊥AC，

∴△ABC是直角三角形。

证法3：如图8，利用此三角形与某个直角三角形相似（或全等）。过点D作DE⊥BC交BC于点E。

∴CD=BD，

∴BE=■BC，

∴■=■=■，

∵∠B是公共角，

∴△BDE∽△BAC，

∴∠ACB=∠DEB=90°，

∴△ABC是直角三角形。

通过一题多解，不仅能拓宽学生的思维领域，增加学生的思维空间，同时经过归纳、总结、联想，可揭示一些规律性的东西，达到增长学生智力的目的。这样的教学不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力，而且培养了学生的创新能力，发展了学生的求异思维。

三、注重知识与技能的拓展与延伸，提升解题能力

在教学过程中，可以由一个基本问题出发，着意设计阶梯式的问题，同中求异，引导学生的思维纵深拓展，使学生学起来不觉得乏味也有新鲜感，运用类比、特殊到一般的思维方法，探索问题的发展变化，使他们懂得怎样从事物的千变万化的复杂现象中去抓住本质，触类旁通，从而培养思维的深刻性和灵活性，活跃和开阔学生的解题思路，提升解题能力。

案例4：如图9，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，设矩形ABCD的一边AB=xm，面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？（北师大版九年级下册P67）

分析：要求矩形面积，可求BC长度，而BC的长度可用三角形相似求出并用x的代数式表示为（40-x），所以矩形面积y= （40-x）x，利用二次函数的知识可求出当x=20m时，y有最大值为300m2。

拓展1，在上一个问题中，如果把矩形改为（如图10）所示的位置，其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？

拓展2，如图11，AD是ΔABC的高，BC=60m，AD=40m，点E、F是BC边上的点，点M在AB边上，点N在AC边上，四边形MEFN是矩形。设矩形MEFN的一边EF=xm，面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

通过上列拓展，可使学生掌握相似三角形和二次函数的知识，同时运用类比、特殊到一般的思维，异中求同，最终总结出当矩形的一边为三角形的中位线时，矩形的面积达到最大。

总之，我们在日常的教学及总复习，一定要合理“回归”课本，不能过分依赖或滥用复习资料，应优先考虑利用课本中素材、例题、习题，进行适当拓展、演变、延伸与归类整理，使其源于课本，又高于课本，从而减轻学生负担，提高教学质量，发展学生智力，对提升学生分析和解决问题的能力有着重要的作用。

【责编 田彩霞】