高中数学中的逆向思维解题方法探讨

林海

在数学问题的解答过程中，有时从正面入手不易解决，我们不妨从问题条件或结论的反面或者对立面出发，也许会达到“正面困难重重，而反面则海阔天空”的境界.从反面或者对立面入手解决问题的这种思维方法就是逆向思维方法，反映在解证方法上就是反证法.

例1：已知在某20个城市之间共辟有172条航线.试证明：利用这些航线可以从这20个城市中的任何一个城市飞抵其余19个城市中的任何一个城市（包括中转抵达的情形）.

分析：如果我们从正面入手排出这20个城市之间的172条航线，就会比较复杂.如果我们从问题结论的反面：20个城市中，存在一个城市A，由A仅能飞抵其余19个城市中的n（<19）个城市，那么问题便容易解决了.

证明：假设这20个城市中存在一个城市A，由A仅能飞抵其余19个城市中的n（<19）个城市.今将A及A能飞抵的n个城市归入集合X，由A不能飞抵的19-n个城市归入集合Y.于是，在分属能飞抵其余19个城市中的n（<19）个城市而引起的.所以利用这些航线可以从这20个城市中的任何一个城市飞抵其余19个城市中的任何一个城市.

例2：从1000件产品中任意抽取10件进行质量检查.假设这1000件产品中恰好有10件次品.记抽出的10件产品中至少有一件次品的事件为A，求A的概率P（A）.

分析：本题若从正面入手，抽出的10件产品中至少有一件次品这一事件A包含了抽出的10件产品中恰好有1件次品，恰好有2件次品，恰好有3件次品，……恰好有10件次品这样10个事事0]即为所求.

分析：像这种某曲线上不存在任何两点关于一条给定直线对称的问题，学生大多感到很陌生，因此从正面入手很难找到解题思路.但学生一般都见过某曲线上存在两点关于一条给定直线对称的问题，因此，不妨从问题的对立面去考察.即考察椭圆C上存在关于直线l对称的两点P、Q.但如果一般地设点求解，则因计算繁杂还是很难使问题获解，不妨再逆向点视经过P、Q两点的直线l′已知.