例析一类三角函数高考题

袁海军

点评：此题涉及的知识点较多，要求考生熟练运用三角诱导公式、和差、倍角、辅助角公式及正弦、余弦定理，同时要有较强的运算能力.有不少考生仅凭直觉要使△OMN的面积取最小值，则线段MN最小，又因为∠MON是定值，所以MN必须移到线段PQ同中点处，从而得出答案，问题在于如何证明这一结论呢？切不可想当然跳过去，造成不必要的失分.

点评：本题主要考查解三角形问题，考查了考生综合分析问题和解决问题的能力.关键在于正确利用正弦定理将S1，S2表示为α的函数，并能较好的运用三角和差、二倍角降次公式，要充分考虑到变量角的取值范围，正确地结合三角函数图象与性质.

点评：本题的特色是将向量与三角知识综合，体现了知识的交汇性，这是高考命题的新趋势，关联三角形的三角解答题是高考命题又一个热点.解答本题应先翻译向量语言，脱去向量语言的外衣，这时问题（1）先转化为解方程组问题，后化归为三角函数求最值问题了，本题同时考查了考生三角函数公式、正余弦定理，图像性质，化简求值的综合运用.

注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①N（，）；②N（，）；③点N在线段MP的垂直平分线上.

点评：本小题主要考查三角函数的图像与性质、解三角形等基础知识，其中解法（二）渗入了基本不等式思想，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想.

点评：此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程.考查正、余弦定理的綜合应用.

小结：三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本文主要帮助考生深刻理解正、余弦定理及三角公式、图像性质综合应用，掌握解三角形的常规方法和技巧；（1）运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；（2）熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；（3）能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力，同时具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，这需要我们平时多加训练，积累解题方法.

（作者单位：厦门大学附属实验中学）

责任编校 徐国坚