《圆锥的体积》教学过程中的三次推进

薛晓斌，陈士文

《圆锥的体积》是小学数学几何形体教学的最后一个立体图形，圆锥的体积公式是通过实验推导出来的。至此，学生已形成初步的空间观念。如何借用圆锥这个教学素材，在公式推导的过程中培养学生的实证意识？如何借用圆锥的公式，在实证的基础上提升学生的逻辑思维？如何立足圆锥的学习，为学生未来的发展培养创造力？

鉴于上述思考，我们设计了《圆锥的体积》一课教学的三个片段，旨在完成从直觉到实证、从直觉到逻辑、从直觉到智慧的三次推进。

一、第一片段的教学，从直觉到实证的推进

师：生活中还有一些物体的形状不是圆柱，而是圆锥形的。谁能说说生活中呈圆锥形的物体？

师：怎样计算圆锥的体积呢？

师：（出示，一个长方形长14厘米、宽7厘米，一个直角三角形长直角边14厘米、短直角边7厘米）这个三角形的面积是长方形面积的几分之几？

生（异口同声地）：。

师：（演示，长方形沿着长边为轴旋转一周，形成一个圆柱体。）直角三角形以长14厘米的直角边为轴，旋转一周，围成了一个什么形状的几何体？

生：圆锥。

师：这里的圆锥和刚才的圆柱有什么相同？

生：等底等高。

师：三角形的面积是这个长方形的，你们猜想一下，这个圆锥的体积是这个等底等高的圆柱体积的几分之几？

生：。

师：有没有不同意见？

生：。（有的学生可能预习过，不过声音很低，似乎没有底气。）

师：究竟是，还是呢？讲台上有实验的材料，同桌讨论，怎么证明是，还是？

（演示，一个学生到讲台前，用红色的水装满圆锥容器，然后倒入等底等高的圆柱，三次刚好倒满圆柱容器。）

师：现在谁来说说，圆锥是等底等高的圆柱体积的几分之几？

生：。（回答的声音响亮）

教师板书圆锥的体积计算公式。

……

智慧心语：大胆猜想，小心求证。

我们知道，学生在运用圆锥的体积计算公式时，最容易遗忘的是“乘”。此处公式中“乘”的引出，不是教师直接告诉，而是先猜想再验证，学生印象就会深刻。

上述教学片段，旨在培养学生的实证意识。因为空间观念不能停留在对平面的感觉推演上，当有了不同意见的时候，教师引导学生用最朴素的方法——实验，用事实来证明，公式的推导从直觉走向实证。

二、第二片段的教学，从直觉到逻辑的推进

师：我仍然用这个直角三角形，这次以短直角边（7厘米）为轴，旋转一周。

师：这次旋转所形成的圆锥体积，和以长直角边（14厘米）为轴旋转围成的圆锥体积一样吗？

生：一样。

生：不一样。

师：同样的直角三角形，分别以长、短直角边为轴旋转一周，围成的圆锥体积究竟相等不相等呢？请同学们独立思考后，再进行小组讨论。

师：谁来代表自己所在的小组，汇报讨论的结果？

生：长边做底面半径所围成的圆锥体积大，短边做底面半径所围成的圆锥体积小。

师：为什么？

生：因为圆锥体积是用乘π、乘半径的平方、乘高，半径要乘两次呢，所以长边做底面半径所围成的圆锥体积大，短边做底面半径所围成的圆锥体积小。

……

智慧心语：我们通过公式来说明，从感觉判断走向理性分析。

当圆锥的体积计算公式得出之后，大多数教师往往转入运用公式的练习，常常归纳出四种情况，即：①已知底面积和高，求圆锥体积；②已知底面半径和高，求圆锥体积；③已知底面直径和高，求圆锥体积；④已知底面周长和高，求圆锥体积。学生的思维停留在机械运用公式上，缺少数学理性的提升。

上述教学片段，旨在培养学生的逻辑思维能力。空间观念不能停留在对立体的感知上，教师引导学生借助圆锥的体积公式，发现同样的三角形旋转，圆锥体的体积却不一样，其中的奥秘在公式中“r2”里，这是引导学生从理性的角度进行逻辑论证。

三、第三片段的教学，从直觉到智慧的推进

师：（演示，一个直角梯形旋转一周，形成一个立体图形。）同学们在头脑中想象一下，这样旋转所围成的是什么形状？

生：像秃顶的山。

生：像圆锥切去一段。

师：它的体积怎么算呢？你能写出公式吗？

师：请学生们独立思考后小组讨论。

……

智慧心语：从熟悉的圆锥开始，我们可以探索未来。

通常情况下，我们的教学会转入联系生活实际，求沙堆的体积、求粮囤的容积、求帐篷（蒙古包）大小等，看似解决问题，实质依然是公式运用的重复、机械的训练，学生没有探索的空间。

上述这段教学，旨在培养学生的创造能力，从熟悉的圆锥开始，探索圆台的体积计算公式。对于圆锥的教学，当学生有了直觉感知、实证意识、逻辑论证等方面的收获之后，还需要培养学生创造的智慧。