“平行四边形面积的计算”教学实录及评析

刘正松 李晓红

教学内容：苏教版小学五年级上册第12～14页相关内容。

教学目标：1.从学生已有经验出发，通过操作、观察、比较等系列活动，引领学生顿悟出平行四边形的面积计算方法，正确熟练计算平行四边形的面积，解决简单的实际问题。2.使学生进一步体会“等积变形”的思想方法，培养学生的空间观念，发展学生初步的推理能力。

教学过程：

一、说出图形的面积，激活学生已有经验

1.说出方格图中图形的面积，体会规则图形与不规则图形面积计算的不同策略与方法。

师：同学们，在三年级我们学习了图形面积的相关知识，（板书：面积）假设下面图中每个小方格的边长都是1厘米，你们能说出阴影部分的面积各是多少吗？（出示：图1）认识吗？

生：长方形。

师：它的面积是多少？

生：18平方厘米。

师：怎么想的？

生：长6厘米，宽3厘米，6乘3等于18平方厘米。

师：记得很清楚，说得很明白，咱们接着看第二个图形。（出示：图2）

生：5乘5等于25平方厘米。

师：你们同意吗？

生：同意。

师：像这样规则的图形，我们可以直接利用面积计算公式进行计算，方便快捷。我们继续往下看。（出示：图3）这个图形的面积是多少呢？你能像刚才一样，也用一个面积计算公式直接算出来吗？

生：不能。

师：怎么办？

生：可以数小方格，每个小方格的面积是1平方厘米，这个图形一共有15个小方格，面积就是15平方厘米。

师：确实，我们通过数小方格的方法同样解决了问题，真不错！那这个图形的面积呢？（出示：图4）还能像刚才那样方便地数出面积吗？

生：不能。

师：确实没那么简单，那你又有什么新的想法呢？

生：可以将这个图左边的三角形平移到右边空缺的地方，这样就成了一个长方形。

师：你们明白他的意思吗？

生：明白！

师：都说眼见为实，让我们亲眼见证一下。（演示）最重要的是这样平移后图形面积没变。现在谁来说说，这个图形的面积是——

生：7乘4等于28平方厘米。

师：同学们，一个简单的平移在此帮我们解决了问题。倘若再次将这幅图形作些变化，你还能说出它的面积吗？（出示：图5）

生1：14平方厘米。

师：为什么这么快？

生：这幅图是刚才的图形的一半，用28除以2等于14平方厘米。

师：借助已知条件求出未知问题，不错的想法。

生2：我们可以和刚才一样，将这个平行四边形左边的小三角形平移到右边，这样同样成为一个长方形，长是7厘米，宽是2厘米，面积是14平方厘米。

师：你是个很会学习的孩子！让我们再来看一看。（电脑演示）

2.切入新课。

师：同学们，刚才我们在电脑上看了这么多图形，并用不同的方法计算了它们的面积，相信你对求图形的面积又有了许多新的想法。

评析：研究新的数学问题，需要有明确的方向和清晰的思路。在这一片段的教学中，学生凭借方格图口答几个平面图形的面积，他们的思维一次次受到冲击，在不经意间已经生成了“剪拼”求图形面积这一技巧，一方面体会规则图形与不规则图形面积计算的不同策略与方法，另一方面也明确了后续探索活动的思路，最后由图4变化为图5，水到渠成，自然切入新课。

二、自主探索，逐步顿悟平行四边形面积的计算方法

1.探索1号平行四边形纸片（出示：图6）的面积。

（1）经验迁移，尝试独立剪拼。

师：我们每人手中都有这样的平行四边形纸片（如图6），它的面积是多少呢？大家想不想自己动手试试？

生：想！

师：好的，每个人都有机会，请每位同学先拿出1号平行四边形纸片，谁来介绍一下，这是一个怎样的平行四边形纸片？

生：这个平行四边形纸片底是4厘米，高是3厘米。

随着学生的回答，课件出示：

平行四边形纸片

底/cm 高/cm

4 3

师：咱们比一比，看哪个同学能又对又快地算出它的面积？为了公平起见，大家准备好，我说开始大家一起动手。开始！

（学生动手剪、拼、算，教师巡视）

（2）集体交流，初步体会方法。

师：谁来说说你是怎么得出1号平行四边形的面积的？

生1：我沿着这条高（如图7的高1）剪开，然后拼成一个长方形，它的长是4厘米，宽是3厘米，所以面积是12平方厘米。

师：有不同的方法吗？

生2：我沿着这条高（如图7的高2）剪开，同样拼成一个长方形，它的长是4厘米，宽是3厘米，所以面积是12平方厘米。

随着学生回答，课件出示：

平行四边形纸片 剪拼 成长方形纸片

底/cm 高/cm 长/cm 宽/cm 面积/cm

4 3 4 3 12

师：我调查一下，有人沿这条线段剪开的吗？（教师在纸片上斜着画了一条线段，如图7）

生：没有。

师：为什么呢？

生：这样剪开拼不成长方形。

师：是的，这不难想象。那你们认为剪的时候应该沿什么样的线段剪才行？

生：平行四边形的高。

师：确实是这样的。不过老师还有一个疑问，刚才大家用了不同的方法剪开平行四边形纸片，拼成一个长方形，但拼成的长方形的长都是4厘米，宽都是3厘米吗？你是怎么知道这两个数据的？

生：我量了长是4厘米，宽不用量，就是3厘米。

师：还有不同的想法吗？

生：长也不用量，从图上我们可以看出长方形的长就等于原来平行四边形的底。

师：是吗？让我们仔细看看纸片，它们真的相等吗？

生：真的！

2.探索2号平行四边形纸片（出示：图8）的面积。

（1）大胆预测，实施验证。

师：表格中的数据也正是这样的，也难怪有些人速度快些。掌握了这个诀窍，我想肯定有许多人想再赛一次，这样吧，一起拿出2号平行四边形纸片（如图8），咱们再赛一次，这次这个平行四边形纸片又是怎样的平行四边形呢？

生：底7厘米，高3厘米。（课件出示）

师：凭你的直觉，咱们可以将它剪拼成什么样的长方形呢？

生：长7厘米，宽3厘米。（课件出示）

师：究竟是不是这样呢？答案很快就会揭晓。把握好机会，准备，开始！

（学生动手剪、拼、算，教师巡视）

师：都是熟练工种了，这次明显比刚才快了，谁来说说你的方法？

生：我沿着这条高剪开，然后拼成一个长方形，它的长是7厘米，宽是3厘米，所以面积是21平方厘米。

师：量了吗？

生：没有！

师：确实，从我们拼成的长方形纸片上已经看得一清二楚。

（2）集体交流，逐步领悟方法。

师：不过老师总是替有些同学遗憾，因为大家的速度相差还是比较大的，那速度慢的同学也得想想提高速度的办法吧，有没有什么更好的策略呢？

（学生讨论）

3.探索3号平行四边形纸片（出示：图9）的面积。

（1）大胆想象，直接计算面积。

师：经过思考讨论，相信不少同学已经找到获胜的方法？咱们就再赛一场，一起拿出3号平行四边形纸片（如图9），这个平行四边形的底和高各是多少？

生：底6厘米，高是5厘米。（课件出示）

师：好的！准备，开始！

（有的学生继续动手剪、拼、算，大部分学生没剪，直接口算出结果，教师巡视）

（2）引导比较，深入领会平行四边形面积的计算方法。

师：这回更神奇了，速度更快，而且我竟然看到有不少学生居然没剪，我们来听听，你们算出的面积和他们的一样吗？

（学生汇报）

生：面积也是30平方厘米。

师：怪啦，不剪也行？

生：行，因为我们刚才把平行四边形沿高剪开，拼成一个长方形，长方形的长就等于平行四边形的底，长方形的宽就等于平行四边形的高，所以我们可以直接用底乘高算出平行四边形的面积。（板书：平行四边形的面积=底×高）

师：哦，原来如此，这样确实更快！听了你们的话，我想这次慢的同学是心服口服了。看来，学习是需要思考的，有了巧妙的方法可以给我们带来更多方便。现在请大家看，屏幕上的这个平行四边形（如图10），它的面积怎么算呢？

生：ah。

师：是的，我们通常用大写字母S表示面积，那么平行四边形的面积计算公式可以这样表示：S=ah。（板书）

评析：教师匠心独具，设计了三个平行四边形纸片，并以不同的方式呈现其底和高，展开求面积比赛，引领着学生的思维一步步攀升，直至学生纷纷顿悟出平行四边形面积的计算方法，几个层次的剪拼浑然一体，最后出示底为a，高为h的平行四边形，进一步引导学生归纳平行四边形面积的计算方法，同时又巧妙地引出字母公式，便于学生理解和记忆。

三、简单运用与初步拓展，丰富学生对平行四边形面积计算方法的认识

1.计算下面平行四边形的面积。

（出示：图11～图13）

学生独立计算，集体核对。

2.这里还有一个特殊的平行四边形（出示：图14），你会计算它的面积吗？

学生尝试计算，教师巡视。

师：在同学们做的时候，老师仔细看了一圈，发现同学们有三种做法。

板书：（12×8=96（平方厘米），12×9=108（平方厘米），8×9=72（平方厘米））显然，这个平行四边形的面积只可能是其中一种，你能说说哪种方法对吗？

生：我认为第三种方法对，我们将这个平行四边形旋转一下，就可以发现它的底是8厘米，高是9厘米，所以面积是8×9=72（平方厘米）。

（课件演示旋转）

师：这么一旋转，还真是那么一回事，那谁能说说前两种怎么就错了呢？

生1：12×8是平行四边形的两条边相乘，这样没有道理。

师：对呀，我们刚才说用它的底和高相乘，不过12×9不是“底×高”吗？

生：不对，以12厘米这条边为底，高就不是9厘米。

师：那12厘米这条边上的高在哪里，你能指一指吗？学生指（出示：图15）。

你知道这条高应该多长吗？独立想一想，和同桌交流交流。

生：高是6厘米，用72÷12=6（厘米）。

师：看来，知道了平行四边形的面积和底，可以反过来求高。当然，这也给我们另一个启示，我们在计算平行四边形的面积时得选择对应的底和高。

3.最后，请大家看一组平行四边形（出示：图16），你感觉几号面积最大？课件出示：

学生猜测。

师：倘若我们要知道究竟是不是想象的那样，应该怎么办？

生：量出每个图形的底和高，算出面积比较。

师：完全有道理，现在请接着看图（出示：图17）。

课件出示：

现在你想说什么？

生窃窃私语：一样大。

生：它们的底相等，高也相等，所以面积一样。

师：事实胜于雄辩，从中我们不难看出等底等高的平行四边形形状不一定相同，但面积一定相等。

评析：练习设计可谓精彩纷呈，高潮迭起，有基础性练习，有拓展性练习，在学生掌握新知后，让学生的思维再次经历思维风暴，让学生所学知识不断深化、内化。

四、总结

师：同学们，今天我们在计算图形面积的过程中不知不觉地习得了平行四边形面积的计算方法，在图形的世界里还有三角形、梯形、圆等图形，它们的面积又该怎么求，相信只要大家像今天一样，大胆地动动手，再回头仔细思考思考，聪明的你们一定会有更多的发现！

总评：

在短短的教学时空里，学生用的仍是司空见惯的操作形式——剪、拼、算，但其立场和视角已然发生改变。

1.积累丰富的活动经验。

在我们目光所及的课堂中，平行四边形的面积计算教学思路大致如下：首先通过比较方格图中规则图形与不规则图形面积是否相等，厘清不规则图形（相对于长方形和正方形）面积计算的一般方法——转化为规则图形，继而提供三个规格不同的平行四边形纸片让学生展开探究，最终观察表格得出面积计算公式。纵观这一流程，学生在教师引领下好像也经历了知识的形成过程，但问题是三个规格不同的平行四边形纸片的操作其实只在同一层面上，除了增加表格中相关联的数据数量之外，别无他用，学生不过在教师的指引下充当了一回“操作工”，他们得出平行四边形面积计算公式更主要的渠道还是通过观察表格。

而此教学设计的是层次不同的三次操作，从教师提供的材料上便可见端倪，学生每剪一次都有新的发现。我们不妨大胆设想，如果学生经历三次“剪、拼、算”后，仍不能领悟到平行四边形的面积计算方法，那么可给予更多的平行四边形纸片，组织他们继续“剪、拼、算”，我坚信，当学生积累足够多的操作经验后，他们一定可以顿悟出平行四边形的面积计算方法。好在教学实践已有力地证明，当学生经历了这三次“剪、拼、算”后，他们大都可以顿悟出平行四边形的面积计算方法。其实不难想象，此时，学生的收获不只是有形的公式，更多的是无形的关于图形面积计算的相关经验，而这些活动经验也必将直接影响着后续平面图形面积知识的学习。

2.滋生积极的学习情趣。

教学中，教师虽只字未提平行四边形面积计算方法，但当出示第三个平行四边形纸片继续让学生算其面积时，大部分学生都发出“不用再剪”的欢呼，从开始学生迫切需要动手“剪”，然后“拼、算”平行四边形纸片的面积，到现在惊喜地发现根本“不用剪”，可以直接推算平行四边形纸片面积，从中我们分明听到学生思维拔节的声音，感受到孩子们的灵性和智慧，这是学生自主探究的结果，也是一个顿悟的过程，而真正的学习常常会伴随着这样一种兴奋感。

心理学家认为，通过顿悟获得的理解，不仅有助于迁移，而且不容易遗忘。同时，学习者了解到有意义的关系、理解了一个完形的内在结构、弄清了事物的真相后，会伴有一种令人愉快的体验，这是人类所能具有的最积极的体验之一。

相信有了这样成功的体验后，他们会期待下一次成功，从而积极地投入后续的学习中去，当学生的思维真正参与到课堂，他们习得的知识是何等的深刻！

责任编辑：赵关荣