抓住知识核心 经历数学建模

万兆荣

数学建模是根据问题情景建立数学模型，并用它解决问题这一过程的简称，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段，是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用。下面以“两位数加两位数进位加法”一课教学为例，谈谈如何在低年级计算教学中构建数学模型。

一、数形结合，展露“1”

片段一：

师：你能猜出34+16的结果是多少吗？

生1：是50，我是这样想的：34加6得40，40再加10就得50。

生2：我也得50。我用30加10得到40，4加6得10，然后合起来也是50。

师：用什么方法能证明这个结果正确呢？

生1：摆小棒、拨计数器试试。

生2：列竖式再算一遍。

师：这些方法都不错，我们先用摆小棒来试试。如果用小棒表示34加16，怎样摆比较合适呢？和同桌商量好后再操作。

生：我先摆3捆4根，再摆1捆6根，4根加6根是10根，10根可以再捆成1捆。这样一共有5捆，也就是50。

师：摆放的位置有什么要求呢？

生：捆对捆，根对根，就像这样（如图1）。

师：你这样摆有什么好处？

生：看起来清楚、明白。

师：4根和6根合成1捆后，这一捆你们认为应该放在哪儿最合适？

生1：不清楚，随便放吧。

生2：就在后面吧。

生3：也可以摆在下面吧。

师：能说明理由吗？

生3：前面都是整捆的，这样对齐好看。

师：你说的意思是这样吗？（出示图2）

感悟：在一些观摩课中我们看到，很多教师执教这段内容时常常按教材要求：“先用小棒摆一摆或用计数器拨一拨，再想想用竖式怎样计算。”为学生准备多样的学具，以小组合作的形式让学生自由选择学具随意操作，然后全班汇报总结各种操作方法，学生很快就能得到34+16的竖式方法，问题解决看似即开放又多样。然而，基于低年级学生好动、好玩的特点，他们一会儿摆小棒、一会儿拨算珠，再来写竖式，试图将所有方法都摆弄一次，这样的自由操作过程蜻蜓点水、浮光掠影、浅尝辄止，缺乏深入的思考，知识的获得多数来自直接的信息传递。

数学家康托尔说：“数学的本质在于思考的充分自由。”没有数学思考就没有真正意义的数学学习。上述案例中，教师要求学生只选用摆小棒一种学具，重点突出“如何摆小棒，如何移一捆的小棒”。“摆小棒”使学生从现实生活的具体情境中抽象出数学问题（即现实问题数学化），由现实问题经过简化抽象后建立数学模型。在数形结合中使学生具有数学“简化”的潜意识，这恰恰是数学建模的第一步。例如：“怎样用小棒摆34与16比较合适呢？”不仅给学生创造了积累活动经验的宝贵机会，更重要的是让学生借助直观活动，“捆与捆对齐，根与根对齐”渗透数位对齐的思想方法，在无形中让学生经历了缜密的思考过程。再如：“4根和6根合成1捆后，这一捆你们认为应该放在哪儿最合适？”这一问题的探讨，让学生自主地去讨论、思索，使学习过程更多地成为学生发现问题、研究问题、解决问题的过程，也让学生较好地理解了两位数加法中“满十进一”背后的道理。

二、位值体悟，领会“1”

片段二：

师：我们通过摆小棒很快得到了正确结果是50，借助计数器你怎么验证？

生1：我先在十位上拨3个珠子、个位上拔4个珠子，这样就是34。如何加16，就在十位上拔1个珠子、个位上拨6个珠子。

师：个位上的10个珠子就不动啦？就像屏幕上的图3，这时怎么读？

生1：这样数就不好读，4个十，10个一。

生2：不行，一定要把个位上10个珠子进向前一位。

师：不进位行吗？

生：不行，一定要“满十进一”。

师：怎么拨？

生：把个位上的10个珠子去掉，在十位上再拨1个。

师：10个珠子就换1个珠子呀？

生：因为它们的位置不同，1在十位上哦，是1个十。

感悟：计数器上的算珠能清楚显示数位，让学生在计数器上拨算珠不单是解决问题方法的多样化，而拨算珠比摆小棒更容易过渡到竖式计算，学生在拨珠说数的过程中，由最初抽象的几何图形到现在的数学表达式，恰恰体验了数学模型的建构过程。

首先，学生要在计数器上定好数位，然后拨上34，还要加16该怎样在计数器上表示出来。接着“这时怎么读？”这一问题的提出，将学生的思维由矛盾冲突又一次引向深入。随后计数器个位与十位上珠数的变化的过程，让学生在珠、数联结中体现“满十进一”的迫切需要。这样教学不仅可以让学生直观地看到10个一是1个十，10个十是1个百，还扩展到“哪一位上相加满十，都要向它的前一位进1”，从而形成了“满十进一”整数加法的数学模型。

建构主义认为：“学习是学生以原有的知识经验为基础的主动建构知识的过程。”容易看出，这种基于经验的对进位加法算式的理解，有效地帮助学生直观体会数位的意义，主动建构“位值制”，既是进一步探索笔算方法的逻辑前提，也是联结相关教学段落的核心知识，培养了学生的建模意识。

三、算法尝试，变脸“1”

片段三：

师：用竖式该怎样表示呢？

生1：我是这样想的，十位上3加1等于4，就是40，个位上的6加4等于10，这个10我把它放在心里，40加10就等于50。

生2：个位4加6得10，十位3加1得4，10和4合起来就是“410”。

师：你想的“410”其实是多少呢？

生：50呀。

师：应该用40加10才得到50哦？！这个1可以写在哪儿呢？

（学生改写竖式）

生1：我觉得1一定要和十位上的数对齐。

师：这个1与原来的数要有点区别，我们要让它像“孙悟空72变”那样变！变！变！你们觉得变大好还是变小好呢？

生1：我觉得大比较明显。

生2：太大就和数字一样，分不清。

生3：还是小的好，写起来方便。

师：放在哪儿合适呢？

生1：放在十位上。

生2：放在横线上面吧。

师：说的有道理，书上表示的方法（如图4）和你们想的一样吗？（学生阅读书本，验证自己的想法）

感悟：通过摆小棒与拨珠的实践活动，学生已经深刻理解“满十进一”的计算原理。然而，由于学生首次接触进位加法的竖式写法，进位的“1”写在哪儿？怎么写？为什么这样写？在学生的头脑中还未形成深刻的概念。案例中将“1”的写法抛给学生，“是变大还是变小？”这一简单问话引发学生在观察、猜测、实验、推理与交流等数学活动中，逐步形成对竖式计算格式的需要和建构，感悟竖式计算所特有的数学思维方式，引发学生对进位加法计算道理的深刻理解。

数学建模的本质在于它更突出地表现了原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程。学生的数学学习过程，其实就是一个不断地建模和用模的过程。以上案例显示，学生在经历数学化过程中，将现实问题（摆小棒）抽象成数学问题（满十进一），再结合（算珠）建立数学模型、通过（变大变小）修正数学模型并再建立数学模型。为此，教学中要基于学生特点，要因材施教，循序渐进，善于结合教材内容抓住数学的本质，合理设计问题促进学生的数学理解，引导学生逐渐体会构建数学模型的优势，构建简单的数学模型。

责任编辑：赵关荣