添加辅助线巧化梯形

钟红

【关键词】梯形 辅助线 转化

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）08B-0055-03

初中数学新课标要求学生能够证明和解答一些几何问题。但几何图形变化无穷、复杂多变，给学生带来不少的困扰。有时因为一条辅助线没有作好而功亏一篑；有时也会因为作好一条辅助线而使问题简单化，达到四两拨千斤的效果。人教版初中数学八年级《梯形》这一节内容，教材内容比较少，图形既空又杂，因此，作好辅助线是学好梯形的关键。下面笔者从教学实践中谈谈如何在梯形中作辅助线：

首先我们来看看梯形常见的几种辅助线的作法（见下表）：

一、平移，构平行四边形和三角形

1.平移一腰

【分析】作DF∥AB交AC、BC于点E、F，在等腰直角三角形中求出EF、CE的长，用DE=DF-EF求出DE，再利用勾股定理可求出CD的长。

【评注】在梯形当中作平行于一腰的直线可以把梯形转化为学生熟知的平行四边形和三角形，通过平行四边形的性质、三角形三边的关系及直角三角形锐角三角函数和勾股定理就可以求解。

2.平移两腰

【评注】 作平行于两腰的直线可以充分利用梯形两个底角互余的关系，构出直角三角形，利用在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半则可求解。

3.平移对角线

【评注】 作平行于一条对角线的直线可以把上底+下底转化成同一条线段，利用勾股定理可以求出该线段，即两底的和，再用梯形的中位线等于它的一半即可求解。

二、延长，延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形

例5 如图5所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC=BD，AD=BC，判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论。

【分析】 延长AD、BC相交于点E，可得两个等腰三角形，利用三角形内角和及等腰三角形的性质“两个底角相等”，推出∠EDC=∠EAB，进一步推出DC∥AB，就可证明。

【评注】 延长两腰相交于一点，转化出两个等腰三角形，利用等腰三角形性质求解。

三、作梯形的高，构矩形和直角三角形

2.作两条高

例7 如图7所示，已知梯形ABCD的两条对角线长AC=20、BD=15，它的高为12，求梯形ABCD的面积.

【分析】 作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F，可得矩形AEFD，这样AD=EF，从而上底AD+下底BC就等于BF+CE，在直角三角形利用勾股定理就可以求出BF和CE，再利用梯形的面积公式可以求出该梯形的面积。

【评注】 作梯形的高可以把梯形转化为矩形和直角三角形，利用矩形的性质和直角三角形的勾股定理可以求解。

四、作中位线，利用三角形或梯形中位线定理

1.已知梯形一腰中点，作梯形的中位线

例8 如图8所示，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，且AD+BC=CD，求证：DE⊥CE。

【分析】 取CD的中点F，连接EF，利用梯形中位线定理得AD+BC=2EF，因为AD+BC=CD，所以CD=2EF，根据在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形可以得证。

【评注】 当遇到梯形一腰的中点时，过梯形一腰中点构全等三角形，可以把三角形的面积、边长、角转化；再由已知条件出发即可求解。

万变不离其宗，核心是转化，把未知转化为已知，把梯形转为我们熟知的三角形和平行四边形。通过上述方法，假以时日，融会贯通，定能巧妙地解决梯形中的问题。

（责编 林 剑）