恒成立问题的解法

边芳

摘要：不等式恒成立是经常遇到的问题，解决方法灵活。笔者在多年的数学教学中总结了一些方法，在此文中加以介绍。

关键词：分离变量；含参函数；数形结合

高三复习中经常出现恒成立问题和有解问题，解决这两类问题实质上解法相同，都是转化成求函数的最值问题。主要方法有分离变量，含参函数，数形结合三种方法。方法中渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法。笔者利用以下几个例题来说明恒成立问题。

例1：若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，■]都成立，求实数a的最小值。

解法1：（分离变量）不等式可化为ax≥-x2-1 ，x∈（0，■]恒成立，即a≥-（x+■），x∈（0，■]恒成立。

令y=-（x+■），∵y=-（x+■）在（0，■]上是减函数。∴y=-（x+■）max=-■∴a≥-■，a的最小值为-■。

解法2：（含参函数）令f（x）=x2+ax+1对称轴x=-■。

-■≤0f（0）≥0？圯a≥0，0<-■<■f（-■）≥0？圯-1

-■≥■f（■）≥0？圯-■≤a≤-1

综上a≥-■，∴a的最小值为-■。

比较两种方法，分离变量不用讨论，转化为具体函数求最大值；而含参函数方法中是直接求含参的二次函数的最小值，需分三种情况讨论。此题还是分离变量的方法较好，避免了分类讨论。

例2：若对任意R，不等式|x|≥ax恒成立，求实数a的取值范围。

解：在同一直角坐标系中画出y=|x|与y=ax两个函数图象如图1：

观察图象a的取值范围[-1，1]，当不等式两端对应的函数类型不同时多用数形结合法。

例3：已知集合P={x|■≤x≤3}函数f（x）=log（ax2-2x+2）的定义域为Q，若P∩Q=Φ，求实数a的取值范围。

分析：Q为ax2-2x+2>0的解集∵P∩Q=Φ，∴Q的范围和P的范围没有公共部分，即求ax2-2x+2>0的解集与P无公共部分。但是含参的二次函数讨论起来较麻烦。可以转化为恒成立问题解决。

解：要使函数f（x）有意义，只需ax2-2x+2>0。∵P∩Q=Φ。等价于？坌x∈P ax2-2x+2≤0恒成立。即a≤（■-■）2+■恒成立。

令y=（■-■）2+■∵■≤x≤3 ∴■≤■≤2

∴y=（■-■）2+■∈[-4，■]，y=（■）min=-4

∴a≤-4。

在解综合性较强的恒成立问题时，有时一题多法，关键抓住恒成立的实质，具体问题具体分析，不要拘泥于一种方法。

参考文献：

1.《高中数学教与学》，2012

【责编 闫 祥】