股指期货定价研究

郭洪斌 黄飞霞

摘 要：本文以股票市场的价格波动形式为前提，提出了基于股票市场波动形式的定价模型。并依据有效市场假说得到了股指期货应遵循的微分方程，最终得到股指期货定价公式。而后又将此模型进一步扩展，提出了基于分形市场假说的股指期货价格应遵循的微分方程和定价公式。最后以沪深300指数期货合约为例对推导出的定价公式进行了实证检验。

关键词：股指期货；EMH；FMH

中图分类号：F832.5 文献标识码：A〓 文章编号：1003-9031（2013）08-0025-06 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2013.08.06

一、引言

金融期货是指以金融工具或金融资产作为标的物的期货交易方式。金融期货交易产生于20世纪70年代的美国期货市场，从产生到现在不过短短的40余年，然而其发展速度却远比商品期货快得多。世界上出现最早的金融期货品种是外汇期货，之后是利率期货、股指期货。20世纪70年代西方各国经济告别了第二次世界大战后持续20多年的“黄金”阶段，陷入了前所未有的经济和金融双混乱时期。在此压力下，股市危机频频出现，创造一个合适的股市避险工具便迫在眉睫。经历了3年多的争论，美国商品交易委员会最终于1982年2月同意引进股指期货合约，股指期货开始了其不平凡的发展历程。

股指期货登陆中国相对较晚，2006年9月8日，中国金融期货交易所挂牌成立，开始为股指期货登陆中国做准备。再历时3年半之后，中国内地首个金融期货品种沪深300股票指数期货合约终于在2010年4月16日上午9时15分在中国金融期货交易所正式交易。

二、股指期货定价模型的理论综述

期货定价的理论基础是：随着期货合约交割月份的逼近，期货价格收敛于现货价格。其原因可以解释为：如果在交割期间期货价格高于现货价格，人们就可以卖空期货合约买入资产进行交割从而获得盈利，然而这种盈利机会一旦被交易者发现，类似的交易行为就会使期货价格下降；如果在交割期间期货的价格低于现货的价格，准备获得相应标的资产的交易者就会发现购买期货合约直到交割会更为有利，一旦交易者如此操作，期货的价格就会上升。如此一来就保证了期货价格最终收敛于现货价格。虽然股指期货的标的资产是股票指数，但股指期货的合约是以现金结算并按最后交易日结束时的价格盯市，了结相应头寸，这也会使得期货的价格收敛于现货价格。对于股指期货的主流定价方法大体可以分为套利定价法、现金—持有定价法、市场均衡定价法[1]。

套利定价法是基于无套利定价原理的方法。该方法是建立在完美的资本市场、无交易成本、相同的风险利率、忽略期货价格和远期价格的差别的假设基础之上。基于以上假设构造两组策略，一组为期货合约，外加借入期货价格现值的资金并投资于无风险资产；另一组为期货合约标的的股票组合。当到期日固定的时候两者的价值应该相等，否则就会存在套利空间，进而得到期货的定价公式。此种定价方法是最早的期货定价方法，几乎适用于所有的期货品种，但标的资产的不同，又使得此种定价的效果差异很大[2]。现金—持有定价法是1983年在套利模型的基础之上提出的。该模型认为股指期货合约价格是相应股票现货价格与融资成本之和再去除股息收益。之后又引入利率因素、税负因素和股利季节性波动因素到定价模型中，但实践的结果表明理论值与实际值之间存在很大的偏差[3]。市场均衡定价方法是基于一般均衡理论提出的，该模型把利率随机形式以及市场波动性纳入股指期货定价模型之中，推导出了一般均衡定价模型。三类定价方法并没有本质的区别，是一脉相承的有机整体。套利定价定价方法是基础，现金—持有成本模型是发展，市场均衡定价法是深化。但他们之间还是略有不同，前二者将现货股票市场的价格对股指期货价格的影响看成是外生的因素，没有充分考虑现货价格与期货价格内在的动态关联性，最后定价方法考虑了理论和股票价格的波动，将市场总体的波动性融入到了总体的股指期货定价方法中。但是，无论哪一种方法都存在难以实现的假设，每种方法都有其存在的依据和价值，也都有其存在的优缺点。

三、股指期货定价模型的新探

资本市场最基本的功能就是经济资源的重新配置，理想的资本市场价格应该是经济资源配置的正确信号。如果资本市场上的资本价格完全反映了所有可得到信息，这便是有效市场，以此为基础形成的理论便是有效市场假说（EMH）。直到1970年，Fama在其经典文献《有效资本市场：理论和实证研究回顾》中对有效市场假说的思想进行了总结，提出了有效市场的定义，即：在有效市场中，证券价格总是能完全反映所有可获得信息变化的影响。Fama还将有效市场分为弱式有效、强式有效和半强式有效市场三种类型[4]。自从Fama提出EMH以来，围绕EMH的争论就从来没有停止过。其争论的焦点多集中在资本市场是线性还是非线性。在不断地争论中逐渐形成了以分形理论为基础的关于资本市场有效性的分形市场假说（FMH）。“分形市场假说强调了流动性的影响以及基于投资者行为之上的投资起点。不同于有效市场假说的EHM，分形市场假说FMH认为，信息依其投资者的投资起点而被评价。因为不同的投资起点对信息的估价是不同的，信息的传播是参差不齐的。价格不可能每一次都反映所有适合的信息，而只反映对投资起点的信息”[5]。以下我们分别以有效市场假说（EMH）和分形市场假说（FMH）为起点，建立股指期货的定价模型。

（一）基于有效市场假说（EMH）的股指期货定价模型

根据有效市场假说，我们可以得到股票的价格变化过程符合布朗运动，即：

■=μdt +？滓dz （1）

其中，dz代表影响股票价格变化的随机因素，通常被称之为标准布朗运动或维纳过程。

设△t表示一个小的时间间隔长度，△z代表变量z在△t时间内的变化，如果变量z遵循标准布朗运动，则有△z=ε■；△z与△t相互独立的结论。“在现实生活中大部分变量的运动过程不仅包括随机波动，还可能存在时间趋势等特征，而且随机波动的方差不一定等于时间长度”。因此，我们可以引入普通布朗运动对现实运动进行描述，其形式为dx=adt+bdz。

其中，a表示x的漂移率（漂移率是指单位时间内变量x均值的变化值）；b表示方差率（方差率是指单位时间的方差）。如果变量x的漂移率和方差率均为变量x和时间t的函数，则说变量x服从伊藤过程（Ito Process）。

在此基础上伊藤进一步推出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G（x，t）将遵循如下过程：

可以看出G也遵循伊藤过程，漂移率为■a+■+■■b2，方差率为（■） b2。

根据股票价格服从布朗运动可以得到：

显然这是一个漂移率为μS，方差率为？滓2S2的伊藤过程，那么

当一个变量服从普通布朗运动时，其在任意时间长度T-t内的变化值服从均值为a（T-t），方差为b2（T-t）的正态分布，也就是说，

其中，lnS表示当前t时刻股票价格的自然对数，1nST 为未来T时刻股票价格的自然对数，即

根据对数正态分布的基本性质，可以得到T时刻的股票价格ST的均值和方差分别为E（ST）=Se■，Var（ST）=S2e■[e■-1）。

基于以上得到的结论，下面我们推导一下股票价格遵从布朗运动时，股指期货价格遵从的规律。

假设F表示股指期货合约的价格，S表示股票指数（即所包含一篮子股票）的价格，根据伊藤引理可得F遵循下式：

为了消除dz，我们可以构建一个包括一个股指期货合约空头和■单位的计算股指的股票组合，令A代表该投资组合的价值，则：

在dt时间后，该投资组合的价值变化dA为：

式（8）代入式（10）可以得到：

由于该组合不含有dz项，因此在不存在套利机会的条件下，该组合在dt内的瞬间收益率等于dt中的无风险收益。因此，

这就是股指期货价格所要满足的B-S-M微分方程。

根据风险中性定价原理，式（14）微分方程的解为：

F=Se■（15）

根据资本资产定价原理，μ值取决于无风险利率、标的股票的系统风险和市场的风险收益偏好。

（二）基于分形市场假说（FMH）的股指期货定价模型

对于遵循随机游走模型，其所涉及的事件前后互不关联，没有长期记忆功能，完全可以采用正态分布的分析方法加以研究。然而像股票市场这样的时间序列，其事件前后相互关联，呈现出很强的相关性和趋势性，是有偏的随机游走。对这种特征的时间序列描述则需要采用另外的非参数统计分析方法——重表极差分析法（R/S分析法）。这一方法的基本思想是，改变所研究时间长度的大小，然后研究其统计特性的变化规律。从而将大的时间尺度的规律应用于小的时间长度。用R/S分析方法得到的指数，我们称之为Hurst指数，用H表示，H的取值范围是[0，1]。H=■则暗示了一个独立过程，该过程不要求基础过程为高斯独立过程，仅为独立过程即可；■

在分形市场假说的理论的假设下，股票的价格变化过程符合分数布朗运动，即：

其中，BH（t）为分数布朗运动，H为Hurst参数。

在这个假定条件下，我们可以推导出：

以下我们推导在分形市场假说的情况下股指期货价格遵循的微分方程。首先，我们假设股指期货价格为F，股指指数价格为S，根据分数Ito过程F遵循下述规律：

构造一个包括一单位股指期货合约空头和■单位标的计算股指的股票组合，则该组合价值B为：

在无风险套利情况下：

式（22）两边取积分得：

式（23）求导得到：

这就是股指期货价格满足的分数B-S-M微分方程。

根据风险中性定价原理得：

（25）

由Z为均值为0，方差为1的标准正态分布，所以Z可以用■■代替得到：

通过以上的对比分析，我们可以发现基于分形市场假设的股指期货定价公式比基于有效市场假设的股指期货公式多了■■*■-■（T■-t■）项，当H=■时则两个定价公式的形式相同，即：基于有效市场假设得到的股指期货定价公式是基于分形市场假设下得到的股指期货定价模型的特例。

（三）基于市场的期货定价模型与传统的期货定价模型

期货作为一种衍生产品，其价值取决于合约标的资产的价格。根据标的资产的不同，期货又可以分为多种类型，基础性证券价格的变动形式将直接影响到相应的期货价格的变动形式。但是所有的期货产品都具有一个共同的特点，即随着到期日的临近，现货价格与期货价格趋于一致。由此可以看出，不同的期货产品其定价方式既有一致的一面又有不一致的一面。传统的期货定价模型利用期货价格与现货价格趋于一致的特点去预测所有时刻的期货价格，这种定价方式忽略了基础性证券价格之间的差异性。从某种角度来讲，基础性证券价格不同的变动形式导致了期货价格不同的变动形式。具体来讲，股票指数期货标的资产是沪深300股票指数，其价格的变动形式与单支的股票或债券价格的变动形式是不一样的。因此，用传统的期货定价模型去定价单支股票标的期货价格是合理的，但用传统的定价模型去定价股指期货，其结果则不太令人满意。沪深300股票指数是综合反映股票市场变动情况。股票市场的价格变动一部分人认为其价格变动服从随机游走模型（价格无长期记忆功能），另一部分人认为其价格变动服从有偏的随机游走模型（价格有长期记忆功能）。对这两种模型对错优劣我们这里不做讨论，我们分别假设股票市场服从随机游走模型和有偏的随机游走模型，然后得到股指期货价格遵循的微分方程，进而得到股指期货的定价模型。这里探讨的定价方法是以股票市场价格变动的形式为基础，通过数学推导得到的，相比传统的股票定价方法，既考虑了现货价格与期货价格趋于一致的共性因素，又考虑股指期货自己所特有的价格变动形式。由此预测的股指期货价格将更加接近于实际的股指期货价格。下文便选取股指期货部分合约进行实证检验。

四、股指期货定价的实证研究

针对以上理论接下来选取中国金融期货交易所上市交易的沪深300指数四个期货合约进行实证研究，四个期货合约为IF1005、IF1006、IF1009和IF1012。选取的数据是四个合约从2010年4月16日到2010年5月6日每日收盘的期货合约价格，相应的沪深300股票指数选取的也是每日收盘指数。从4月16至5月6日共选取了14组数据点，其中合约IF1005于5月份到期，合约IF1006于6月份到期，合约IF1009于9月份到期，合约IF1012于12月份到期，因此，这14组数据点既可以检验在合约临近到期日的情况下，理论得到的期货价格与实际的期货价格之间的契合程度（由合约IF1005检验），又可以检验在合约距离到期日长短不一的情况下，理论得到的期货价格与实际期货价格之间的契合程度（由合约IF1006、IF1009和IF1012检验）。另外，无风险利率r选择10年期国债利率3.36%的。股票收益选择的是股票的平均年收益率（20%）。对于Hurst指数H的选取则相对复杂一些，对于上海股票市场来说，Hurst指数H=0.661；对于深圳股票市场来说Hurst指数H=0.643（戴国强、徐龙炳和陆蓉在《金融市场有效性探讨》一书中对深沪两市进行的R/S分析得到的结论）。我们选取二者的平均值H=0.652最为沪深300股票指数的Hurst指数进行计算。对于？滓的选取，我们可以根据以往的经验取为？滓=0.03。根据前文推导的基于EMH下股指期货定价公式和基于FMH下股指期货的定价公式可以得到四种股指期货合约的理论价值。

根据以上图表，我们可以发现，本文推导出的两个股指期货定价公式均能很好地与合约实际价值相吻合。虽然理论价格并不能完全与实际的价格相匹配，但理论价格变动的趋势与实际价格的变动趋势是相一致的。然而股指期货的实际价格很容易受到市场供求关系的影响，这就使得实际价格与理论价格相偏离，加之我国股指期货市场才刚刚起步，机构投资者的炒作、投机也会使实际价格与理论价格相偏离。随着我国股指期货市场的不断发展成熟，股指期货的价格也会更加趋向于理论价格。

五、结论及不足

本文先对股指期货定价的现有理论进行了总结和归纳，并在此基础上，以有效市场假说和分形市场假说为假设得到了以下结论：

（一）以有效市场假说的假设为基础，推导出了股指期货价格所满足的微分方程。根据风险中性定价原理对微分方程进行了求解，最终得到股指期货价格的定价公式。实证检验结果也表明以此定价公式计算出的沪深300指数期货的理论价格在趋势上能很好地与实际的理论价格相符合，进而也验证了公式的正确性。

（二）以资本市场的最新非线性假说——分形市场假说为前提，推导出了股指期货价格遵循的分数微分方程，并得到了相应的定价公式。在该公式中取H=0.625、的实证研究也表明该公式计算的理论价值也与实际价格相符合。

近些年来，学术界对有效市场假说存在很多质疑，但它仍因其自身所具有的简单特点成为了现代金融理论的基础之一，以该假说为基础建立起来的金融模型虽然有先天性的缺陷，但仍然对现实有重要的指导意义，而分形市场假说则是近些年来新兴的金融理论，它能很好地解释股票市场的“尖峰”和“肥尾”现象，因而逐渐地被人们认可。但现在学术上以FMH为基础建立的金融模型很多都是对现有模型的修正。想要真正以其自身的理论建立一套金融模型还有待人们进一步去研究。本文是分别基于两个假说理论来建立股指期货的定价模型，虽然理论基础不同，但方法则殊途同归。模型本无对错之分，哪一个模型能更好地去解释我国股指期货价格的确定还有待于时间去检验。■

（责任编辑：汤戈于）

参考文献：

[1]郭洪钧.股指期货的定价问题[J].上海财经大学学报，2007（3）：68-75.

[2]中国期货业协会.期货市场教程[M].北京：中国财政经济出版社，2009.

[3]郑振龙，陈蓉.金融工程[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4]戴国强，徐龙炳，陆蓉.金融市场有效性探讨[M].上海：上海财经大学出版社，2005.

[5]埃德加·E·彼得斯（著），储海林，殷勤（译）.分形市场分析[M].上海：上海财经大学出版社，1998.