基于嵌套Archimedean Copula的金融资产相关性研究

杜子平　张雪峰

摘 要：Copula能将单个边缘分布和多元联合分布联系起来，已被广泛用于金融资产相关性研究。本文利用E-GARCH（1，1）模型来拟合各个外汇市场的日收益率序列，通过构建嵌套Archimedean Copula联合分布函数，分析美元、港币、欧元波动相关关系。实证研究表明：嵌套Archimedean Copula能够很好地捕获非对称结构下尾相关性，及较好地刻画外汇市场的协同波动效应，并且简化计算量，具有直观的描述性，有利于进行资产的风险管理。

关键词：E-GARCH；嵌套；Archimedean Copula；协同波动

中图分类号：F822.0 文献标识码：A〓 文章编号：1003-9031（2013）08-0009-04 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2013.08.02

一、引言

在当前全球经济一体化和近两年国内股市低迷的宏观背景下，外汇投资备受关注。任何金融产品投资都有风险，而汇率风险是双刃剑，其风险源自不确定性，它既可能使企业受损，也可能使其获益。越来越多的散户投资者及企业开始进入外汇市场，可以充分利用分析外汇市场的波动来获取收益。尤其对于出口企业，如何利用风险分析减少外汇风险更为重要，同时还可与政府相关部门、银行、信用保险部门保持沟通，及时获知风险预警信息，提高防范外汇风险能力。相关性分析是多变量金融分析中的一个中心问题，资产定价、投资组合、波动的传导和溢出、风险管理等问题都涉及相关性分析。但是传统的线性相关系数具有一定局限性。如它要求变量间是线性的，且方差存在，但是金融市场中出现的不少数据往往是尖峰厚尾分布，方差通常为异方差性，有时并不存在。传统的金融建模工具无法较好地拟合这类建模需求。

Sklar（1959年）提出的Copula理论解决了传统金融分析中的建模问题，同时可以很好地刻画变量间的非线性、非对称性及金融数据呈现出的尾部相关关系[1]。Copula是把多个随机变量的联合分布与它们各自的边缘分布相连接起来的函数，能够将多元联合分布分解为多个边缘分布和一个Copula乘积的形式，通过联合函数来捕捉多元变量间的相关性，随着近些年理论的不断发展，已经成了资产相关性分析的重要工具。

Marius Hofert and Matthias Scherer通过嵌套阿基米德Copula建模，对债务抵押债券定价问题进行了研究，表明嵌套阿基米德Copula建模的相比可交换类Copula的优势，并实例分析了债务抵押债券的资产组合定价问题，也充分证明了该模型的优势[2]。Nelson、Daniel（1991）也首次提出了非对称波动性的E-GARCH模型[3]。由于金融市场的波动特性——尖峰厚尾非对称性等，并且就外汇市场而言其对政策的不确定性极其敏感性，这一点通过传统的正态假设定量建模工具难以刻画说明。李秀敏、史道济（2007）实证研究了金融资产的尾部通常呈现不对称相关性，而Copula函数较好反映这类资产的相关结构[4]。文忠桥、冯德海（2010）通过分析中国股市的非对称效应也充分证明这点[5]。王昭伟以BEKK-MGARCH模型检验了中日韩三国的汇率波动，指出了其具有正向协同波动关系，其联合干预对汇率协同波动有显著的政策效应[6]。因此本文引入嵌套阿基米德Copula模型，实证研究外汇市场之间的汇率协同波动相关性。

二、相关理论知识

（一）E-GARCH模型

GARCH模型能够描述金融序列异方差性，但由于GARCH模型中，正和负冲击对条件方差的影响是对称的，因此GARCH模型不能刻画收益率条件方差波动的非对称性，Nelson（1991）提出E-GARCH可较好地拟合非对称波动模型，该模型（Exponential GARCH Model）由均值方程、条件方差方程组成，形式如下：

Rt=f（t，xt-1，xt-2，…）+？着t？着t=？滓tztLn（？滓■■）=？琢0+■？琢ig（zt-i）+■？酌jln（？滓■■）（1）

文忠桥、冯德海在《金融危机下我国股票市场波动非对称性的实证研究》文中，充分证明了该模型对非对称金融数据的拟合效果。

（二）Archimedean copulas理论

阿基米德生成元（简称生成元）是一连续严格单调递减下凸的函数？渍，满足？渍（0）=1，？渍（∞）：=limt→∞？渍（t）=0。阿基米德的N维copula函数形式如下：

C（？滋；？渍）=？渍（？渍-1（？滋1）+…+？渍-1（？滋d）），？滋？缀[0，1]d（2）

McNeil AJ （2009）已经证明了定义高维阿基米德生成元的单调性。其中？渍-1为？渍的逆，形式如下：

（？渍-1）（t）=■（3）

（三）嵌套阿基米德

嵌套阿基米德分为全嵌套阿基米德Copula（fully nested Archimedean copula）和部分嵌套阿基米德Copula（partially nested Archimedean copula），它能由随机变量间的尾部相关性对数据进行初始分类，两两组合，逐步构造二元Copula来实现高维Copula建模。这种方法把握住了随机变量间的主要关系，极大地减少了计算量，使高维建模变得简单。然而，这种建模方法只适用于阿基米德族Copula函数，同时要求各层间的相关系数逐渐变小。全网络法和部分网络法结构图如图1、图2所示：

阿基米德Copula由一个完全单调的算子形成，所包含的函数种类繁多。金融资产发生波动时，我们对其某一资产收益率随另一个资产收益率下跌的情况比较关注，即对金融市场间的下尾相关系数比较关注。因此我们采用阿基米德Copula函数族中能够很好地描述下尾相关性的Clayton Copula来建模[7]，其函数表达式如下：

其中，θ为Clayton Copula 系数。

对于随机变量U=（？滋t，…，？滋n），其对应的多元联合密度函数f为

Joe（1996）给出用于构建Pair-Copula的条件边际分布：

定义h函数：

其中，？专为u和v的联合Copula分布函数的参数集。

三、分层条件Copula构造方法

（一）由于E-GARCH模型对金融收益率的尖峰后尾特性能够较好地拟合，本文用E-GARCH系列模型对边缘分布建模，并提取标准化残差；

（二）检验各标准残差序列，并概率积分变换计算，（0，1）区间内的均匀分布；

（三）进行Copula模型似合估计，得出两两金融序列的相关系数；

（四）以上一步为基础，递归循环通过h函数（11）式，建立嵌套Copula模型，研究金融市场间波动相关性。

四、实证研究

（一）样本选择与描述性统计

汇率市场的国际化，其波动直接影响到国内进出口、物价、资本流动等，分析其波动的相关性尤为重要。有利于金融机构对汇率风险准确测度。本文选取了以人民币为中间价的人民币对美元、人民币对港币、人民币对欧元的日收益率作为研究对象，日收益率为Rt=100×ln（Pt/Pt-1）。

以2005年1月4日至2012年11月20日作为样本期间，通过Copula函数来分析3个外汇市场间上下尾相关系数的变化。所有数据来源于中国货币网。

通过对序列描述性统计性特征分析可以发现，三个序列的收益率偏度、峰度和JB检验量均表示市场的收益率不服从正态分布，表明无法使用传统的正态假设建立模型。三个时期股指日收益率统计性特征分别如下图所示：

（二）边际分布建模

大量金融实证研究表明，金融数据具有尖峰厚尾特性及ARCH效应。E-GARCH模型可以很好地刻画ARCH效应，也能对非对称尖峰厚尾数据很好描述。Glosten、Jagannathan与Runkel（1989）提出了GJR模型，来衡量收益率波动的非对称性，在条件方差方程加入负冲击的杠杆效应，但仍采用正态分布假设。Nelson（1991）提出了E-GARCH模型。Glosten、Jagannathan与Runkel（1993）分析比较了各种GARCH-M模型，指出不同的模型设定会导致条件方差对收益率产生正或负的不同影响。本文通过对几类GARCH建模及检验比较选择，采用E-GARCH（1，1）模型来拟合收益率序列，其参数估计及检验结果如下：

从几类GARCH建模及检验结果来看，E-GARCH（1，1）模型对数据拟合效果好。

（三）嵌套阿基米德条件Copula建模

提取标准残差序列进行概率积分变换，转换成独立同分布的（0，1）区间上的均匀分布，并进行Copula建模。从散点图（图4-2）中可以看出两两之间有较强的相关性，其kendal，spearman系数表2、表3如下所示：

在阿基米德Copula函数族中，已有研究表明Clayton Copula函数能够较好描述下尾相关性，所以本文采用Clayton Copula函数进行分析，通过所建模型对三种外汇市场数据两两分析得到下尾相关性系数，条件Copula下的下尾相关系数表如下。

由表5可知美元与港币的相关性较强，而欧元由于其特殊区域性，与美元港元的波动通过此模型并未表现明显关联波动。由此可进一步判断出外汇市场下尾波动的协同性，也可以通过类似的分析方法来判断外汇市场之间风险传染的路径。如上分析数据我们可以得到美元在下尾的波动会直接对欧元港币有影响，而欧元的下尾波动并没有对美元及港币的波动有明显相关性。通过该模型分析，可以有助于减少人们在外汇市场上的操作风险，并能分析出风险的传递路径。

五、结论与展望

嵌套阿基米德Copula是一个灵活有扩展研究的高维建模工具，而通常使用的Copula如T-copua，高斯Copula等工具的限制条件较多，计算工作量较大，本文通过嵌套阿基米德Copula高维建模，分析2005年1月4日至2012年11月20日作为样本期间的金融外汇资产相关性，主要考察其下尾波动协同影响。实证研究结果表明外汇市场下尾波动有一定的相关性，并可推断出其波动传递性，通过本文的研究成果对外汇市场波动传染效应有较大的参考价值。由本文可看出嵌套阿基米德Copula有很高的灵活性、适用性，与其他类Copula相比有减少了大量的计算、宜于构建高维模型等特点，但本文目前只进行了三维建模，未来可以进行更高维的建模及进一步对金融资产风险的实证分析等工作，扩展阿基米德族函数，从而促进该模型更加适用。■

（责任编辑：王艳）

参考文献：

[1]Whelan， N.Sampling from Archimedean copulas[J]，

Quantitative Finance，2004（4）： 339-352.

[2]Marius Hofert，Matthias Scherer： CDO pricing with

nested Archimedean copulas[J]. Journal of Finance， 2011（5）： 775-787.

[3]Nelson，D.B.Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns： a New Approach[J]. Econometrica， 1991（59）： 347-70.

[4]李秀敏，史道济.金融市场组合风险的相关性研究[J].系统工程理论与实践，2007，13（2）：112-117.

[5]文忠桥，冯德海.金融危机下我国股票市场波动非对称性的实证研究[J].大庆师范学院学报.2010，（2）：31-35.

[6]王昭伟.外汇市场的协同波动与联合干预[J].国际金融研究，2011（6）：52-60.

[7]韦艳华，张世英.Copula技术及其在金融时间序列分析上的应用[J].系统工程，2003（增刊）：41-45.