有限元法的后置处理

郭小兰

摘 要： 有限元法是求解复杂工程问题的一种近似数值分析方法，广泛用于工程技术的各个领域。有限元法的分析输出结果评估，即后置处理是有限元法的重要内容，其主要功能是利用图形技术显示有限元分析的输出结果。

关键词： 有限元法 后置处理 网格图 应力应变图

有限元法是一种求解复杂工程问题的一种近似数值分析方法，它所分析的区域具有任意形状、载荷和边界条件；可以使用不同类型、形状和物理性质的单元。有限元网格与真实结构具有高度的物理相似，不是难以形象化的数学抽数，易为工程技术人员所理解[1]。有限元法的后置处理是通过直观的图形描述有限元分析的结果，以便对其进行分析、检查和校核。后置处理输出的图形包括网格、静态变形、振型、应力及应变等。

1.网格图

网格图的简单显示可用线框来绘制。例如，四边形单元由四条边显示，六面体单元出十二条边显示等。所以，绘制出单元每条边即绘制出了网格图。当网格节点增多，或采用三维实体单元时，很难看出结构的几何形状，所以有时必须对网格进行消隐处理，使网格图表达的意义更明确。

消隐处理方法的基本原理是：空间物体各个面在投影平面上投影后产生重叠，这样，某些面可能被其他面全部或部分遮挡，而变得全部或部分不可见。将相互重叠的部分根据边界相交划分为多个子区域，相应物体表面的线段被划分为多个子线段；每个子线段非端点上的任意点可见性即代表该于线段的可见性，通常取于线段的中点来判断[2]。

在有限元网格图消隐中，如果对每条线段和每个面进行上述的运算，则计算量是相当大的。对全为三维实体单元的网格，判断线段和面是否应该参与运算可按如下方法进行。

（1）从给定节点向任一方向作射线，穿过形体表面的次数若为奇数，则表明该节点处于形体内部，因面与此节点相连的线段及面不必参与运算。这种方法必须基于几何模型，即已知形体的表面。

（2）若与给定节点相连的每个单元面皆为两个单元的公共面，则与此节点相连的线段和面不必参与运算。

根据有限元模型的特殊性，可以用深度优先的方法进行消隐处理。根据深度由大到小依次用区域填充的方法绘出每个单元，深度小的单元覆盖深度大的单元，这样即得到了消隐效果。但是，这种方法在某些地方（如单元尺寸相差太大，而单元又是相邻的情况下）会产生不太理想的效果，即产生不正确的消隐。

2.节点位移的描述

用结构的变形图来描述节点位移比较直观。变形图可以表示结构在静载下的位移和自由振动的振型。显示变形圖与显示网格图的方法相似，所不同的是节点的坐标位置发生了变化，变形后的节点坐标为：X=X■+△X （1）

（1）式中，X■为节点坐标，△X为变形量。

一般情况下，变形量相对于结构尺寸很小，为了反映结构的变形。坐标值可按下式得到：

X=X■+α△X （2）

（2）式中α为放大系数。取合适的α值，即可得到表达明确的变形图。为了比较变形前与变形后的结构，可将它们重叠显示。

振型图绘制与变形图绘制相似，为了得到动态的视觉效果，可以绘制一组相应的变形图，节点坐标为：

X■=X■+αsin（■i）△X （3）

（3）式中.N为显示图幅数，i=0，1，…，N-1，△X为振型向量，但不包括转角。

有时可能关心结构上某些节点的变形情况，这时可以用二维坐标图表示结构的变形情况。例如，用横坐标表示节点在整体坐标系中的位置，纵坐标表示变形量。

3.应力图和应变图

应力面和应变图一般较多地采用等值线来描述，并且只需要绘制结构的表面或某一方向的应力和应变。设最大和最小应力和应变值为π■和π■，等值线数为N>2，则等应力值或等应变值可以按下式确定。

π■=（π■+π■）Q■-π■（i=1，…，N） （4）

（4）式中π为基准平移值，保证π■+π■>0，Q为应力降低系数。

Q=（■）■ （5）

等值线的绘制方法是：在结构表面或戴面上利用插值方法得到离散的数据点，将单元坐标系下的数值，变换到整体坐标系下。确定绘制等值线的值，通过对数据进行搜索、提取，即可得到等值点，用等值线跟踪的办法即可绘出等值线。等值线应该既不相交又不分叉。

4.结语

后置处理是在有限元分析后，实现对计算结果的显示与绘图，即在计算机屏幕上动态显示受载构件的变形过程及应力、应变分布，从而使操作人员能够很快地估计出所建有限元模型的变形情况，为了解决从设计到制造过程中存在的瓶颈，必须重视和解决有限元的后置处理程序。

参考文献：

[1]梅中义，范玉青，胡世光.有限元分析前、后置处理系统[J].航空制造工程，1996（3）.

[2]孙靖民.现代机械设计方法[M].哈尔滨工业大学出版社，2003.