函数问题中常见错解简析

李军

摘要：函数问题是高中数学的重要内容，是学习高中数学的难点，也是历年高考的重点。在函数问题的解答过程中，必须引导学生全面分析问题，以防出现漏解或错解。笔者现结合教师近几年的教学情况，对这些问题进行总结。

关键词：函数问题；常见错解；简析

函数问题中常见错解有以下几类：

一、函数概念掌握不牢致错

例1.下列四个图形中，不可能表示函数y=f（x）图像的是（ ）

A B C D

错解：选A

错解分析：误选A主要是由于对函数概念掌握不牢造成的，函数概念要求对任意x都有唯一的y与之对应，A项虽然存在相同的y值对应不同的x值，但是它满足函数概念的要求，所以它能表示函数y=f（x）的图像。

正确解法：根据函数的概念，是要求对每一个x只都有唯一的y值与之对应，选项A、B、C都满足这些特点，而D中图形的每一个x（x=0除外）值对应有两个y值，不符合函数的定义，故选D。

二、函数性质掌握不牢致错

例2.判断函数f（x）=■的奇偶性。

错解：∵f（x）=■

∴f（-x）=■=■=-f（x）

∴f（x）为奇函数。

错解分析：误将原函数化为f（x）=■，忽略定义域。

正确解法：由x（x-6）≠0得定义域为{x|x≠0且x≠6}，定义域关于原点对称，因此f（x）为非奇非偶函数。

三、忽视了函数的定义域致错

例3.求函数y=log0.6（x2-3x+2）的单调区间及增减性。

错解：令μ=x2-3x+2，由二次函数的单调性可知，当x∈（-∞，■]时，μ（x）为减函数，当x∈[■，+∞）时，μ（x）为增函数。

又y=log0.6 μ为减函数，依据复合函数的单调性知，在x∈（-∞，■]上原函数为增函数，在x∈[■，+∞）上原函数为减函数。

错解分析：对数函数要有意义，必须使真数x2-3x+2>0，即x>2或x<1，所以错解中所对应的单调区间是错误的。

正确解法：由μ=x2-3x+2>0得x>2或x<1，结合二次函数的图像及单调性，易知当x∈（-∞，1）时，μ（x）为减函数；当x∈（2，+∞）时，μ（x）为增函数。

又y=log0.6 μ在定义域内为减函数，因此由复合函数的单调性可知x∈（-∞，1]，时，y为增函数；x∈（2，+∞）时，y为减函数。

四、忽视了函数的值域致错

例4.求函数的y=（■）x+（■）x+1的值域。

错解：令t=（■）x，则y=t2+t+1=（t+■）2+■≥■

即当t=-■时，ymin =■

所以函数的值域为[■，+∞）。

错解分析：换元t=（■）x，t>0，而错解中认为t∈R。

正确解法：令t=（■）x，则t∈（0，+∞），y=t2+t+1=（t+■）2+■。因为函数y在t∈（0，+∞）上是增函数，所以y>1，即函数y的值域是（1，+∞）。

五、忽视了隐含条件致错

例5.设α、β是x2-2kx+k+6=0方程的两个实根，则（α-1）2+（β-1）2的最小值是（ ）

A.-■ B.8 C.18 D.不存在

错解：∵x2-2kx+k+6=0

∴α+β=2k α·β=k+6

∴ （α-1）2+（β-1）2=α2-2α+1+β2-2β+1

=（α+β）2-2α·β-2（α+β）+2

=4（k-■）2-■≥-■

∴选A

错解分析：上述解法是受选项A的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏理性的体现，如果能以反思性的态度考察各个来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

正确解法：

∵原方程有两个实根α、β

∴Δ=4k2-4（k+6）≥0？圯k≤-2或k≥3

当k≥3时，（α-1）2+（β-1）2的最小值为8，

当k≤-2时，（α-1）2+（β-1）2的最小值为18，

这时就可以做出正确的选择，只有B正确。

综上所述，在引导学生解函数问题时要全面分析，既要注意系数的取值，又要注意函数的类型、图像位置以及函数图像中有关的点、线位置的不确定性，以防出现漏解或错解。

【责编 闫 祥】