“解析几何初步”与学生“算功”的培养

罗腾根

摘 要：解析几何是培养学生运算能力的重要载体，对学生计算能力要求很高. 学生常常能列式却不会化简，会解法却不会计算. 本文从教材、教师、学生三个方面剖析原因，再从师生思想认识到位、教师多教通性通法、发展学生思维能力、进行规范限时训练四条途径探究培养学生的算功.

关键词：解析几何；算功培养；原因剖析；培养途径

解析几何是培养学生运算能力的重要载体. 解析几何的运算，多为数与式的混合运算，有较强的综合性，涉及代数、三角、向量、几何等知识内容，对学生计算能力要求高. 在“解析几何初步”这章的教学中，若对学生“算功”的培养重视不够，定会造成教学障碍.

[?] 两个案例暴露问题

1. 案例1：能列式却不会化简

在“解析几何初步”这一章的测试卷中，我们曾经“照搬”了2007年高考全国II卷理科第20题：

例1 在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-y=4相切.

（1）求圆O的方程；

（2）圆O与x轴相交于A，B两点，圆内动点P使

测试结果是全年级很多学生第2问都失分了，留在试卷上的步骤是会列式“·=x2+y2”，却不会化简，不能往下做，令人痛心.

2. 案例2：会解法却不会计算

在第一轮教“解析几何初步”时，笔者在一次自习课辅导中，几乎全班的学生都要问一本教辅书上的同一道题：

例2 已知圆（x-3）2+（y-4）2=16，直线l1：kx-y-k=0.

（1）若l1与圆交于两个不同的点P，Q，求实数k的取值范围；

（2）若PQ的中点为M，A（1，0），且l1与l2：x+2y+4=0的交点为N，求证：

学生被第2问难住了.在与他们的交流中，得知绝大多数学生都能说出解决第2问的方法，但就是算不出，或根本就不敢去算.会解法却算不下去，问题的严重性超出了我们备课组的想象.

[?] 三个方面剖析原因

1. 从教材层面剖析原因

（1）高中数学课程标准明确指出：应删减烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容，克服“双基异化”的倾向. ——是不是解析几何不再要繁难的运算？

（2）教材（北师大版）用框图表示了“求点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0的距离”的一般步骤，没有求解过程，直接给出了点到直线的距离公式，再明确指出：“今后我们将用向量的方法证明这个公式.” ——为什么舍弃当场用代数法推导点到直线的距离公式？就因为“运算繁难”？

2. 从教师层面剖析原因

（1）在定理与公式的教学中，往往强调结果的记忆和应用，而疏忽了它们形成的过程及其相互联系，学生认识比较肤浅，理解不深，所以应用这些定理、公式时就会疏忽它们成立的条件，很容易出错或考虑不全面. “点到直线的距离公式”的教学就是一个例证.

（2）在例题与习题的教学中，教师常常只注重解题思路的分析与解题方法的探求，而疏忽解题规范化的训练与示范，课堂上留给学生运算的时间也较少，有些难题来不及计算就直接给出答案.

（3）在作业与试卷的批改中，教师往往不能做到严格按照标准答案分步给分，不能做到细致地既批又改，而是重在最后结果，缺少对运算求解过程的评价，缺乏对运算合理性的讲授与探求.

3. 从学生层面剖析原因

（1）科学计算器的使用是把“双刃剑”. 由于允许科学计算器进入中考考场，绝大多数学生初中开始习惯用计算器，计算时也就依赖计算器，稍微麻烦的数式计算就不愿动笔，笔算能力大幅下降.

（2）在日常学习中，学生往往更重视解题思路的思考，感觉运算只是小问题，对提高运算求解能力不够重视，对运算的合理性理解不全面、不深刻，也没有养成良好的运算求解习惯，诸如审题不清、书写零乱、过程跳步、盲目求快等.

（3）对繁难运算有畏惧感，不敢去算，不去尝试；或缺乏整体观念和运算技能算不下去，自愿放弃.

[?] 四条途径培养算功

1. 师生思想认识到位

（1）规范计算器的使用. 师生对使用计算器的利弊展开辩论，让学生明白：在计算器还不能进入高考考场的今天，只能让计算器替代“数学用表”的查找功能，或进行实际问题中的大数计算和近似计算等，而一般的数式运算还是要笔算.

（2）运算过程与解题思路同样重要. 在例题教学与习题训练中，既要重视解题思路的分析与解题方法的探求，也要留有时间，规范运算，得出答案. 对于学生运算过程中的“纠结”之处，教师要及时“点化”和主动“示范”.

（3）解析几何一个重要的教育功能就是培养学生的运算能力. 因此，在“解析几何初步”中，有点繁难的运算很正常，教师要鼓励学生敢于去算，指导学生善于算.

例3 课堂上，教师示范用代数法推导“点到直线的距离公式”.

①直线l：Ax+By+C=0的斜率k=-；

②过点P（x0，y0）垂直于l的直线l′的方程是：y-y0=（x-x0），即Bx-Ay=Bx0-Ay0；

③解方程组（加减消元）Ax+By=-C，

2. 教师多教通性通法

用代数方法解决几何问题，是解析几何鲜明的特色，“代数法”就应该是通法. 很多教师的课堂教学有一个误区：那就是追求“一题多解”，追求“巧思妙解”！这对于少数高才生是“锦上添花”，但对于大多数学生是在做“无用功”，他们在“惊叹”、“佩服”之余，剩下的“只有恨自己笨”！他们期盼“雪中送炭”.

例4 已知直线l1：mx-y=0，l2：x+my-m-2=0，求证：对于m∈R，l1与l2的交点P在一个定圆上.

在一次听课活动中，教师选择了例4作为例题教学. 当学生提出“联立方程组解出交点坐标”时，授课教师打断了学生的话，引导学生观察直线l1过定点A（0，0），直线l2过定点B（2，1），且直线l1与直线l2垂直，故交点在以线段AB为直径的圆上，其方程为（x-1）2+

y-

=. “何必去解方程组”？教师一句质问，学生黯然神伤，在心里直恨自己为什么想不到如此“妙法”？

其实，联立方程组去解，根本就不用“苦思冥想”. 由mx-y=0，

x+my-m-2=0，解得x=. 又知m=，代入可得x=，化简得x2+y2-2x-y=0，所以l1与l2的交点P在一个定圆上.

3. 发展学生思维能力

解析几何中的运算求解，不是简单套公式计算，而是要求学生能够对法则、公式进行变形，或整体辨认，选择合理简捷的运算途径，有些运算步骤学会用心算完成. 当运算确实很繁得不出结果时，要学会调整解题思路，或修正运算途径，或估算运算结果. 总之，要培养好学生的“算功”，就要加强学生思维合理性和简捷性的训练.

比如，在本文例1化简“·=x2+y2”，多数学生心中的算法是：（x2+4x+4+y2）·（x2-4x+4+y2）=（x2+y2）2，觉得太繁，从来没有算过，所以“算不下去”或“就不算下去”.合理的算法是：[（x+2）2+y2]·[（x-2）2+y2]=（x2+y2）2?[（x+2）（x-2）]2+[（x+2）2+（x-2）2]y2+y4=x4+2x2y2+y4?x4-8x2+16+2x2y2+8y2=x4+2x2y2，所以x2-y2=2.

因为以上运算过程是在草稿上完成，所以第一、第二步还可以心算.

4. 进行规范限时训练

学生的“算功”主要靠算得又快又准来体现. 在平时教学中一要注意限时训练，科学地规定完成时间，有意识地针对性培养；二要加强规范化训练，教师多示范书写格式，既不“跳步”（遗漏得分点），也不写多余步骤（不是得分点），做到简捷合理.

比如，本文例2第2问的运算，看似很繁，但不很难，对学生的意志品质是一个“考验”，对学生的书写格式也是一个“检验”.

由kx-y-k=0，

（x-3）2+（y-4）2=16，消去y，得（1+k2）x2-（2k2+8k+6）x+k2+8k+9=0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=.