一个新发现的组合恒等式

蔡勇全

摘 要：排列组合是高中数学教学的重点和难点，也是历年高考考查的热点. 学生在此类问题上得分率极低，主要是源于学生对解答排列组合问题的众多方法及其适用背景未能逐一吃透，习惯用模型套问题，不会变通. 加强对常见、典型排列组合问题的研究，并试图提炼出可加以逻辑证明的组合恒等式，有助于学生理清排列组合的内部关系并进一步领会通性通法.

关键词：排列组合；恒等式；逻辑证明

[?] 问题的提出

高三教学中，笔者遇到过下面一道测验题：

为搞好新农村建设，某地政府决定从6台不同的收割机和4台不同的播种机中选取3台支援三个贫困山村，要求至少包含1台播种机且每个山村必须获得一台机器，则不同的选送方案_______种.

本题看似平淡无奇，从常规思路得到的结果应是（C-C）×3！=600，但也有这样一种思路：先确保至少有一台播种机被选送，从中剔除重复的种数，即为

（CC-CC（3-1）-CC（2-1））×3！=600，式子结构虽较前面复杂，但规律性更强，同时也更容易让学生理清排列组合的内部关系，后经笔者多方例证，得到如下结论：

从m个不同的A元素及n个不同的B元素中任选p个（p≤m，p≤n）排成一列，若要求B元素必须被选取，那么不同的排法总数为（CC-CC（i-1））×p！.

把此结果与用常规方法得到的结果（C-C）×p！作对比，易得组合恒等式CC-CC（i-1）=C-C（p≤m，p≤n）. ①

那么上述结论是否是真命题呢？如果是，（1）式又该如何证明呢？

[?] 问题的解决

经过多方例证和反复研究，笔者发现上述结论是一个真命题，并找到了如下一种逻辑证明思路.

首先，笔者介绍如下三个组合恒等式：

iC=nC， ②

C=CC+CC+…+CC=CC，

③

C=CC. ④

②式是大家众所周知的，容易得证.

③式证明过程如下：原式左边为m+n个元素中选取p个元素的组合数.现将这m+n个元素分成两组，第一组为m个元素，第二组为剩下的n个元素. 把取的p个元素，按在第一组取出i（i=0，1，2，…，p）个元素，在第二组取出p-i个元素进行分类，每一类的取法数为CC. 另一方面，在m+n个元素中取p个元素的取法数又可以写成C，故③式成立.

此外，③式的证明还可以用比较（x+1）m（x+1）n=（x+1）m+n两边的系数的方法得到，感兴趣的读者可尝试证明，此处略.

由③式可知C=CC+CC+…+CC+CC，进一步可以得到C=CC+CC+…+CC+CC=CC，由此可知④式成立.

现在，我们来证明①式成立.

因为CC-CC（i-1）=nC-iCC+CC=nC-iCC+CC+CC=nC-nCC+CC+CC-CC+CC=nC-nC·C+CC-C=nC-nC+C-C=C-C，所以①式成立.

[?] 教学启示

数学是一门趣味无穷的学科，只要我们在平时的学习与研究中善于钻研，勇于探索，敢于突破旧的条条框框，努力培养自己灵活地、深刻地、有条理地思考问题的好习惯，坚持思维的提炼与升华训练，天长日久，我们一定会步入数学学习与研究的更高境界，数学学习与研究的成果一定会更加丰富. 在本文的解题案例中，我们感受了探究性学习是数学知识生成的重要途径，也是解决数学问题的重要手段，当然这也是新课程教学的一个明显特征，因此，我们只有更加重视探究意识和探究能力的培养，我们对数学知识的领悟才会更加深入和透彻.