从一例管窥曲线公共点的研究方法

余绍安

摘 要：两曲线的交点问题转化为求方程组的公共解问题，进而转化为一元二次方程根的求解，同时，也可以数形结合思想为指导，动态地考察两曲线的位置关系. 这两种方法各有优劣，本文以一道典型试题为例，对此做了一番探讨.

关键词：曲线交点；圆；椭圆；求解策略

通常，我们把两曲线的交点问题转化为求方程组的公共解问题，进而转化为一元二次方程根的求解；这种方法符合我们解题的思维习惯，可是由于上面的第二个转化极易扩大根的取值范围，对两曲线真实交点情况难于准确反映，产生一些难以觉察的错误. 如果以数形结合思想为指导，动态地考察两曲线的位置关系，破解问题，获得答案；这就要求我们合理调整思维视角，尝试用不同的方法解决问题，培养思维发散性、灵活性和敏捷性，进而培养创新能力. 现以一例进行上述两种不同的解题尝试，来获得不同的体验，同时也可以搞清楚如何利用方程来讨论两曲线的位置关系.

[?] 分析讨论、解剖错因

讨论：方程f（x）=5x2-18ax+9a2-45=0在x∈R时有解，能否在x∈[-3，3]时有解？

错因：忽视了隐含条件x∈[-3，3]，y∈[-2，2].

剖析：方程组有解，说明公共解一定满足两个方程，即必须x∈[-3，3]，y∈[-2，2].

因此，原命题?f（x）=0在[-3，3]内有根.

正解二：画图，结合图形考察，当动圆圆心M（a，0）落入区间[-6，6]内时，两曲线定有交点.

故a∈[-6，6]. 故选B. （如图4）

疑惑：当圆M在椭圆内部运动时，是否与椭圆定有交点？

释疑：因为椭圆短半轴长小于圆M的半径，所以圆M在椭圆内部运动时，两曲线一定有交点.

[?] 总结反思、延伸拓展

1. 反思

正解一虽然烦琐，但综合了曲线方程以及一元二次方程根的分布等知识. 这些知识是高考重点考查的知识点. 我们不能就题做题，陷于题海；或者因其复杂而轻易地抛弃这种解法，而是充分发挥该题的综合和整合作用，梳理知识、拓展知识. 这样，更容易使学生由知识积累形成其能力迁移，有利于学生数学思维深刻性、广阔性、逻辑严密性以及数学探究能力的培养. 当该题转变为解答题时，仍不失为一种好的方法. 对选择题而言，正解二更迅捷、更有效. 同时，正解二体现了数形结合思想对解决问题的指导作用，对学生数学思维灵活性、敏捷性以及批判性的培养有着重要意义.

2. 拓展

（1）若圆（x-a）2+y2=4与椭圆+=1有公共点，则实数a的取值范围是多少？若无公共点，则实数a的取值范围是多少？请在各种情况下，讨论两条曲线的位置关系.