数学史视野下的中学数学课堂导入

邱大为

摘 要：情境创设是课堂导入的重要环节，可激发学生的学习兴趣. 数学史的导入是情境创设的一种，根据情境认知理论，数学史的导入除了能激发学生的兴趣，还能帮助学生系统性地把握所学知识，加深学生对概念的理解. 教师在数学史的导入过程中应注意其实效性、启发性、连贯性、机智性等问题.

关键词：数学史；课堂导入；中学数学；情境导入

新课导入是课堂教学的开始，同时也是课堂教学的重要环节之一，数学史导入是新课导入的一种，通过数学史导入新课，能使学生在数学历史长河中生趣、生疑，促使他们积极主动地思考问题、探求知识，产生“课伊始，趣亦生”的良好教学效果，从而形成良好的心理动态，成为新课启发教学的先导.

[?] 数学史导入新课的必要性

就学习理论发展来看，情境认知理论已替代建构主义成为主流. 尽管建构主义有各种不同的流派与范型，但就整体而言，所有的建构主义者都强调学习者个人的大脑内部发生的活动. 中学数学课程标准把数学史纳入其中，让学生在学习的时候了解自己学习的数学知识是如何来的，是和怎样的数学实践活动直接联系的，从而对知识进行深度学习和深度理解，可见数学史有其出现的必要性.

（一）激发学生的学习兴趣

兴趣是人的情意领域中最为活跃的成分，兴趣的形成有助于情感态度价值观的形成. 夸美纽斯说：“兴趣是创造一个欢乐和文明的教育环境的主要途径之一.” 兴趣是倾向于力求认识某种事物和从事某项活动的具有积极情绪色彩的心理倾向，是促进学生学习的内驱力. 在新课程改革下，如何培养学生学习数学的兴趣，促进学生主动学习，已成为数学教育的目标之一. 数学教学实践也表明：如果用历史回顾和历史轶事点缀枯燥的问题求解和几何证明，学生的学习兴趣就会大大增加. 学生在历史的解说中明白：数学并不是一门枯燥呆板的学科，而是一门不断进步而生动有趣的学科.

（二）加深学生对数学知识的理解

随着学习研究的深入，我们对学习的认识也日益深刻， 目前研究界已就学习达成的有关共识包括：深度理解概念的重要性、注重学与教、创设学习环境、学习者在先前知识基础上建构知识的重要性以及反思的重要性. 通过数学史的学习，能够帮助学生加强对所学内容的理解，了解数学问题、概念、定理、公式和思想方法的来龙去脉，了解引入它们的动机与产生的后果. 例如，讲到无理数这个概念时，讲述希勃索斯发现了无理数，引发第一次数学危机的历史. 人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”—— 这便是“无理数”的由来. 当然，“无理数”并非“无理”，而是“不可通约”之意；“无理”二字，在数学史上有可能是毕达哥拉斯为维护“神权”，惧怕存在着不可通约的数的真理，迫害数学人才的无理.

对于数学概念教学，鉴于数学概念形成与发展的特点，除了要讲清概念的内涵与外延，介绍概念的起源与发展也是十分必要的. 同时，学生在获得概念的认识活动中还体验到了数学抽象过程又是怎样完成的，透过概念的抽象规定，具体感受数学认识活动的实质，将间接经验内化为自身的数学思维能力，从根本上理解概念何以这样规定，从而达到对数学概念的深层次理解. 同建构性学习一样，深度学习也通常发生在复杂的社会环境和学习环境中， 通过创设有意义的学习环境，能够帮助学习者实现深度学习和深度理解.

（三）增强学生的人文意识

情境认知的突出特点是把个体认知放在更大的物理和社会的情境脉络中，这一情境脉络具有互动性，包含了文化性建构的工具和意义. 数学课程标准指出，数学是人类文化的重要组成部分. 数学教学应当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，以及数学的社会需求，社会发展对数学自身的促进作用，数学科学的思想体系在人类文明史中的地位和作用，让学生了解数学的应用价值和人文价值.

（四）帮助学生把握知识结构体系

情境认知的注意焦点主要是学生在认知方面的成长，其基本目的是让学生和教师去体验有关自己所处环境的感知与理解的新知识的效果. 在情境学习中，学生能经历从一个只具有单一观点的新手转变为能从多种观点出发探究环境的、相对比较老练的专家的历程，并在其中体验所经历的一切. 通过数学史的学习，能够让学生了解到数学发展的历史长河，把握数学发展的整体概貌，从而能够从整体上对知识加以认识和把握，组织起结构良好的知识体系. 在传统的数学教学中，由于学生缺乏数学史知识，虽然学了许多知识，但却不知所学知识有何用，不知所学知识在数学学科中的历史地位和作用. 如果想要把握所学知识，适当的途径是了解和学习这门学科的历史和现状.例如高中必修一在引入“函数”概念的过程中，可根据图1进行讲述，以后高二还会学习函数的深化内容微积分，即数学发展史上所谓的“第二次数学危机”，在此过程中由初中所学的“不定方程”的历史开始演变到现在学生学习的函数，并在后面还会进行深化，使得学生对“函数”这个概念形成结构体系.

[萌芽时期][公元200年，丢番图研究不定方程.][过渡时期][产生时期] [16世纪，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述；伽利略用文字和比例的语言描述函数关系，并讨论变量和函数，但没有做出一般抽象.] [1673年，莱布尼兹用“函数”一词表示任一个随着曲线上的点变动的量，还引进了“常量”、“变量”和“参变量”等概念，是“函数概念的几何起源”.]

[?] 数学史的导入过程中应注意的问题

情境认知理论对教师的要求日益增高，教师必须构建能反映数学课程内容和目标的真实的任务，并通过这个任务测查学生的学习进步情况，从而进一步改善数学的教与学.

（一）数学史的导入应具有实效性

有一教学案例，教师描述这样一个数学史改编的故事：有一个狡猾的地主，把一块边长为x的正方形土地租给老实巴交的张老汉种植，一年后，庄主对老汉说：“我把这块地一边增加5米，另一边减少5米继续租给你，你也没吃亏，如何？”老汉一听，觉得是没吃亏，就答应了，回到家中，就把这事跟邻居讲了，邻居却叹了口气，告诉他说：“你吃亏了！”老汉很吃惊. 这时教师开始问：“聪明的同学们，你们认为老汉有没有吃亏呢？为什么？这就是我们今天要学习的平方差公式.” 接着这位教师通过复习前面学习过的完全平方公式再归纳出平方差公式. 本来通过故事的引入方式一下子激起了学生的兴趣，能很顺利地导入新课，但是这位教师为了迎合自己的备课从而回归到没讲故事前，这样的导入并无实效性，可见教学过程应服从于学生的认知感受.

新课程标准提出， 中学数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础上. 课堂导入要服从于教学任务和目的，以学生对数学知识的认知、理解为重点，不能只顾追求形式新颖而不顾学生感受. 比如在学习“二元一次方程组”时，可以用中国古代著名数学问题“鸡兔同笼”问题创设问题情境直接导入新课. 学生被这种有趣的问题吸引，积极思考问题的答案，不但能增长知识，了解我国古代的数学发展，而且还能以“趣”引思，使学生处于兴奋状态和积极思维状态，诱发学生主动学习，自然过渡到本节课重点内容.

（二）数学史的导入应具有系统性

数学教材内容的呈现是以知识逻辑体系组成的，它是形式化的东西，因而掩去了知识的发生和发展过程，把数学发明创造的火热思考丢在一边，这虽有利于学生接受知识，但会影响学生正确思维的形成，课本中的字斟句酌不能表现出数学知识创造过程中的斗争，以及数学家们所经历的艰苦漫长的道路，对此，教师的主要任务就是要返璞归真，结合具体的教学内容，介绍数学史的相关知识，把形式化的逻辑链条恢复为当初数学发明创造的火热思考，展现数学家的思维过程，让学生体会创造过程中数学活的思维，领悟数学的创新过程. 比如在讲复数时，如图2介绍数系的发展，从而产生了复数，最后由于生产、生活和数学内部发展的需要，从19世纪中叶开始不断有人研究超复数的问题，直到20世纪初才完成超复数的一般理论. 令人感到欣慰的是，现行新教材改变了以往将某一知识以完整的知识体系，一气呵成地呈现在学生面前的模式，而是将同一知识按不同的要求，分层次地分布在不同的时段，以问题探究的方式引领学生去观察、去发现，进而获得知识，既考虑了学生的认知特点，又考虑了知识从发生、发展到逐步完善的渐进过程，这是新教材的一大进步.

（三）数学史的导入应具有启发性

学生的发展水平有两种：现有发展水平和潜在发展水平. 现有发展水平表现为学生能够独立地完成教师提出的智力任务；潜在发展水平表现为学生还不能独立地完成任务，但可以通过自己的努力才能完成智力任务. 数学史的导入就在于激发那些正待成熟的心理机能的发展， 从而进入更高一级的认知水平. 在讲到《勾股定理》这节课时，可用数学史的导入贯穿于整节课，首先讲述我国《周髀算经》中的“商高定理”，其次讲述古希腊的毕达哥拉斯对这一定理的证明及以其名命名的定理，接着向学生提出问题：“这是最早的证明方法，在卢米斯（E.S.Loomis）的《毕氏命题》一书第二版中，作者收集了这个著名定理的370种证明，并把它们分了类，同学们能想到哪些呢？”这样引导学生把欧几里得、赵爽、刘徽的证明方法自主探索出来，有兴趣的学生还可以鼓励其在课后继续找寻证明方法. 通过数学史料导入引导学生自主找出其他证明方法，体现了启发诱导的教学方法.

（四）数学史的导入应具有机智性

课堂因为有学生的存在而生动，也因为有他们的存在有时与预案背道而驰. 新课标要求教学过程关注学生的认知发展，课堂也应根据学生的情况对数学史导入的时间、内容做及时调整，教师可在知识内容枯燥无味或学生状态不佳的时候直接引入数学史，重新唤起学生的学习兴趣. 若课堂与预案产生出入时（课堂的突发事件），应按照学生的学习认知机智地继续本节课. 比如在讲述等差数列求和时，教师备案介绍数学王子高斯在10岁时就能迅速算出1+2+…+99+100的故事，借此引导学生研究一般等差数列的求和方法，但有的学生以前已经学过这种方法，所以对这个故事不屑一顾. 遇到类似情况就需要教师灵活处理，若当做没听见继续按照备课内容讲课，这位学生的情绪就会因未被发泄而不能专心听课，甚至影响其他学生或课堂，从而破坏了本节课由数学史引入的氛围；若教师趁此机会请这位学生告诉大家怎么做并表扬其也有数学家的天赋，这样不仅激励了这位学生，并让大家感受到数学家也是凡人，我们每个人也可以做到. 在这过程中，虽然仅仅是几句话的问题，但会产生截然不同的结果，这就要求教师有足够的机智或在备数学史引入时多“备学生”，从而婉转局面.

当然，数学史不仅可以运用于导入，比如前面提到的在《勾股定理》课中可以通过各种古老的证明方法贯穿于始终，也可以在学生注意力不集中时重新唤起学生的注意力. 可见，数学史在教学中的教育功能是多方面的，教师只有不断充实、完善，提高自身修养，教育教学水平才能不断提高，才能上出更精彩、更成功的课.