小议反例法在解题中的应用

2013-04-29武瑞雪王磊魏本义

语数外学习·下旬 2013年9期

武瑞雪王磊魏本义

在数学教学中，要判断一个数学命题是正确的，应由已知条件和已学过的公理、定义、定理等，严密推理得出结论；要否定一个命题，只要举一个反例即可。运用反例进行教学的方法称为反例法。反例法与证明法对数学学科的发展同样重要，是高中数学不可或缺的一种有效的教学方法。

一、反例法在高中数学教学中的作用

1.帮助学生准确理解基础知识

数学概念、性质等基础知识是解题的依据，是学好数学的基础。在基础知识的教学中，教师不仅要运用正面的例子来阐明其本质属性，而且还要运用反例对其中的关键词和本质特征进行更深入地诠释，帮助学生准确、透彻、全面地理解基础知识。

2.帮助学生快速判断命题的真假

反例法在判断命题的真假时，具有快速、说服力强的特点。

例2 判断命题“对于任意正整数n，n2+n+41都是质数”的真假。

很多同学，通过取n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…，甚至更多的n值（一直连续取到39），很容易判断上述命题为真。

但是，当我们取到n=40（是一个反例）时，得n2+n+41=41×41，故此时n2+n+41为合数。

事实上，n2+n+41=n（n+1）+41，所以，当n=41k 或n+1=41k（k∈Z*）时，n2+n+41都是合数。一个数学问题用一个反例就得以解决，让人倍感兴奋和愉悦。

3.帮助学生规避错误类比

新的《普通高中数学课程标准》把培养学生的类比推理能力作为培养目标之一。事实上，在高中数学中许多概念、结论之间都有类似的地方，在新概念的提出，新结论的证明过程中，恰当运用类比的方法，以旧导新，有利于建构新知识，能让学生对新知识的记忆更牢固，理解更深刻。在高中数学中，可通过类比法引入的概念或结论非常多，如：复数、平面向量的有关概念或结论可类比实数给出；立体几何的有关概念或结论可类比平面几何给出，等等。

但类比得出的结论不一定成立，对于不再成立的结论，举一个反例验证即可。

例3 以下结论在实数范围内及复数范围内均成立①x+y=y+x，（x+y）+z=x+（y+z），xy=yx，（xy）z=x（yz），x（y+z）=xy+xz， zmzn=zm+n，（zm）n=zmn，（z1z2）m=z1mz2m；②|xy|=|x|·|y|；③|x|2=|x|2；④若xy=0，则x、y中至少有一个为零，等等。

而以下结论在实数范围内成立，但在复数范围内不成立 ①x2≥0；②|x2|=x2；③若x2+y2=0，则x=y=0.

可举反例加以验证：①反例：取x=2i，此时|x|2=-4<0；②反例：取x=i，此时|x|2=1，x2=-1，此时|x|2≠x2；③反例：取x=3i，y=3，此时x2+y2=0，但x=y=0不成立。

例4 实数运算的有些法则对于平面向量仍然成立，如加法交换律、乘法交换律、乘法对加法的分配律，等等，但实数的有些法则对平面向量则不成立。

如，对实数a，b，c，有以下结论成立：

例5 下面的结论在平面、空间中均成立：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行且不相等的四边形是梯形；③过直线外一点作直线的平行线有且仅有一条；④平行于同一条直线的两条直线平行，等等。

而下面的几个结论在平面中成立，在空间中则不成立：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②四边相等的四边形是菱形。

可举反例加以验证：

① 反例：如图1，直线a，b都垂直于c，但a，b不平行。

图1

事实上，在空间，当两条直线平行于同一条直线时，这两条直线可平行、可相交、可异面。

②反例：如图2，在正四面体ABCD中，空间四边形ABCD的四边相等，但它不是菱形。

图2