数学文化在微积分教学中渗透的思考和设计

林锰　柴艳有

【摘要】本文从自身的教学实践出发， 强调在数学教学中渗入数学文化的重要性，介绍了数学文化在微积分教学中如何渗透，以及可以采取哪些办法将数学文化渗入微积分的教学，从而使学生在学习微积分的基本概念和基本思想方法之余，领略数学思想方法对人类文明的贡献、体会数学重大发现的艰辛、明了数学与其他学科的关系、感受数学的美，了解相关微积分概念的发展历史， 微积分对人类文明的贡献以及微积分与其他学科的关系等数学文化知识。

【关键词】微积分 数学文化教学 教学 渗透

【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）05-0134-02

1.引 言

众所周知，我们国家是一个数学大国，也是一个数学古国，早在2000多年前，我们祖先就有“周三经一”的思想，也就是今天人们讲的圆周率π，而西方国家到了17世纪才有这样的概念，陈景润关于“哥德巴赫猜想”的卓越工作，令世界震惊。然而，从数学的公众形象谈起，在大多数公众的心目中是一堆数字和公式，抽象、深奥甚至神秘，而对数学的应用价值也不甚了了。

数学的这种公众形象从发展现代教育与科学的角度看是堪忧的。微积分学更是大学中作为工具的基础课程之一， 是关于数量关系和空间形式的科学， 对于在大学就读的学生来讲，在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学的文化精神、数学的思维方法，都是学生们潜在的一种工具，对于现代化社会而言，数学素质应该是公民所必须具备的一种基本素质.所以，将数学文化融入微积分教学中，不仅仅是为了学生在大一学习中能在了解数学文化的背景下掌握大学必修工具学科的知识，也是为了切实地将我国的教育提高到现代的先进的水准，使人们树立起正确的数学价值观，具有十分重要的意义。

2.数学文化在微积分教学中渗透的意义

微积分学是高等院校的教学中一门传统的基础数学课程，它不仅为学习工科类专业和经济类专业的知识提供了必要的工具，更能培养发展学生的精密思维能力，促进学生运用数学思维去思考专业问题。

但传统的微积分教学重视的是数学抽象性、逻辑性、系统性，注重定理的论证、公式的推导和解题的演练，而忽视了数学的文化层面，由于其本身抽象性等原因， 这样给不少学生留下了数学课枯燥的印象，因而失去学习微积分的热情与兴趣。笔者通过十几年的“微积分”课程教学实践和几年的“数学文化”课程教学感受，深切体会到在微积分教学中适时恰当的融入数学文化元素，不仅能让学生领略数学思想方法对人类文明的贡献、体会数学重大发现的艰辛、明了数学与其他学科的关系、感受数学的美等等，也能让学生在定理、公式的证明过程中，不单单死记硬背而是掌握理解的思想方法，既能激发学生学习数学的积极性，又可以最大限度地调动学生学习数学的兴趣 ，从而达到相对最佳教学效果。

3.数学文化在微积分教学中渗透的内容

3.1揭示微积分中数学语言的文化背景，加深对数学概念的理解

微积分学中的很多概念，既可以用常用语言表述，也可以用“数学语言”来表述，例如在数列{xn}的极限概念中，■xn=A的定义，用一般语言描述为为“当n无限增大时，数列xn与定数A无限的接近，要多近有多近”，另一种更精确的描述为“对任意给定的ε>0，总可以找到N∈Z+，使得当n>N时，总有|xn-A|<ε。后者就是所谓的”数学语言，即“ε-N”语言，同时还有类似的“ε-δ”语言等等，这些都是一种简约、抽象的科学语言，它作为数学思维的载体是进行有效数学交流的前提。

在微积分教学中， 我们几乎处处可见数学语言，但若是在知识的传授和应用中忽视数学语言的产生背景和其内涵的讨论，会造成一些学生只能对其“死记硬背”，甚至对其产生一定的误解，同时感受到微积分概念的枯燥和抽象。

如果我们在讲授概念的数学语言的同时，介绍其产生的背景， 指出真理被发现的艰辛常常是多少代人共同努力的结果，这样才能使学生对数学概念的特征有所认识。例如，在讲授上述极限概念的“ε-N”等语言中，我们同时讲述微积分这一锐利无比的数学工具几乎在十七世纪同一时期，为牛顿、莱布尼兹各自独立发现，创立微积分学的初期，由于当时微积分的理论基础非常薄弱，常常有不能自圆其说的情况。不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因此，它遭到了当时不少人的猛烈抨击，如贝克莱等。数学史上将其称为“贝克莱悖论”，直白的讲，就是“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。后由法国著名数学家柯西迈出了第一大步，使分析基础严密化，再后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“ε-δ”语言。

3.2 融入微积分中丰富的史料，感受数学文化的理性精神

微积分作为伴随着人类文明的发展而发展的工具，从公元前五世纪无穷小概念的萌芽到十七世纪牛顿、莱布尼兹最终建立微积分，再到十九世纪极限概念的最终确立，经历了漫长的历史长河，所以，在微积分教学中，可以适时适当地选取关于介绍数学发展的数学文化以丰富教学。例如，牛顿的老师巴罗在对无穷小分析中已察觉到切线问题与求积问题的互逆关系，但执着于几何思维妨碍他进一步逼近微积分的基本定理。 虽然牛顿，莱布尼兹创立微积分是一项划时代的科学成就， 但其中也存在逻辑上的问题，在这一时期除去贝克莱之外，还有一个比萨大学哲学和数学教授格兰弟（Grandi），他在级数收敛，发散含混不清的情况下，提出了一个怪论叫作“从虚无到创造万有”，来攻击微积分学中的无穷级数。在柯西的努力下，才使连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”来定义无理数。1892年，另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。

也正是很多带着批判眼光的学者的“怪论”才使如牛顿、柯西、傅里叶、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等很多的数学家能在自己各自领域上潜心研究，从而有了我们今天较为完善的微积分学。在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。通过将其穿插融入微积分教学中，不仅丰富了教学内容，而且在使学生缓解听课疲劳的同时，感受到数学家们平凡而伟大的人格魅力，以及对数学执着的追求精神，并从中获得鼓舞和激励，在学习中正确对待自己遇到的各种困难，培养勇于进取、坚忍不拔的拼搏精神。

3.3 探索生活中的教学素材，体会数学的应用之美

数学有三个层面：一个层面就是公式定理， 像勾股定理、 求根公式等等。第二个层面就是思想， 就是我们公理化思想， 数形结合、 函数思想等等。 还有一个层次就是文化价值。数学有好的数学，有价值的数学， 有意义的数学， 这是一种看法。

数学文化的价值不仅在于知识本身，而且在于它的应用价值，从这个角度讲，数学应用的教学是数学学科与数学文化结合的最佳点。因此，教师应将学生的生活与数学学习结合起来，让学生熟知、亲近的生活进入数学课堂，在解决实际问题过程中培养学生的应用能力。例如，在导数应用的教学中，可以让学生思考将熟悉的生活情境抽象成最值问题，如“用铁皮做成一个容积一定的容器， 问应当如何设计，才能使用料最省？”。

又如，在讲微分方程时，可以举例如下：“熊熊的烈火锤炼着一把刀具，想把刀具拿出来放在实验室，假设实验室的室温是摄氏24°，当时，刀具的温度是150°，10分钟后刀具的温度是100°，那么20分钟后刀具的温度是多少度呢？” 并给出给出数学模型是：

■=-k（u-uα）

其中u为刀具在t时的温度，k>0为一个常数，uα为室温，解这个方程可以算出20分钟后刀具的温度是64°。

这使教学变得生动有趣，这不仅能够激发学生的学习兴趣，也能培养他们在解决问题过程中学会用数学的观点解释生活中的现象，体会数学的应用之美。

4.总结

如果把数学看成仅仅是逻辑， 仅仅是形式，仅仅是思想的体操，那么我们就是很少注意文化的层面，而在微积分的教学活动渗入数学文化， 就是为了使学生对作为工具基础学科的微积分课程有一个基本的认识和理解，对数学与其他学科的关系和与生活中的联系有一个基本的认同和体会， 同时，也是为了使得微积分课堂中再也不是以往单一枯燥的“定理、公式、习题……”等基本的数学知识，而是通过“介绍定义定理的发现者、背景分析”，使学生了解微积分学中一些概念产生的始末，以及赖以生长的“土壤”，以丰富学生对其的感性体验；还通过讲一段“数学故事、数学家逸事”，使数学知识折射出人类的意志和智慧的光芒，使学生在感动、开心之余更好地理解掌握数学知识；也就是使微积分教学更有亲和力. 在同学们对其兴趣倍感增加之后， 再进行数学思想方法的严格训练， 才能起到事半功倍的效果， 才能使学生在轻松愉悦之后更好地理解和思考微积分思想的真谛。

总之，在微积分教学中渗透数学文化，就是实现数学文化和人类文明的整合，搞清楚数学的文化背景，搞清楚数学成就的文化价值，把数学的结果的文化品位发掘出来， 用文化的视野来看数学，用数学的眼光来看文化， 发展现代数学， 弘扬世界的文化。

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