从一道数学题的计算误差谈恒成立问题

【摘要】恒成立问题是高考常考的题型之一。本文基于一道恒成立问题的不同解法导致的错误，讨论了在这类恒成立问题中转化为复合最值时需要注意的问题。

【关键词】恒成立问题 高考 最值问题 最值法

【基金项目】陕西省教育科学“十一五”规划科研项目（SGH10230）。

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）06-0158-01

恒成立问题是近年来高考及各类数学考试的热点题型之一，该类问题有较高的综合性和灵活性，往往通过一道综合试题即可全面考查学生灵活运用数学知识、数学思想方法的能力，考查学生数学思维的深刻性和敏捷性[1，2]。恒成立问题常常转化为最值问题，有时应用“大于最大值，小于最小值”这一方法。但是，从高三复习的过程中，我们发现有部分学生对“最值法”理解不透，处理不妥，有时会导致解题的错误。本文以一个恒成立问题为基本素材，通过将恒成立问题转换为最值问题进行了讨论。

例1.已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1。在区间[-1，1]上，函数f（x）的图象恒在直线g（x）=2x+m的上方，求实数m的取值范围。

解法一：利用待定系数法可以求出二次函数的解析式：f（x）=x2-x+1。函数f（x）的图象恒在直线g（x）=2x+m的上方？圳f（x）>g（x）恒成立？圳f（x）min>g（x）max。因为f（x）=x2-x+1在[-1，1]的最小值是：f（x）min=f（ ）= 而g（x）=2x+m在[-1，1]最大值是：g（x）min=g（1）=2+m。于是由f（x）min>g（x）max得： >2+m，即m<- 。

评注1：该解题的思路非常清晰，将“函数f（x）的图象恒在直线y=2x+m的上方”问题转化为“f（x）min>g（x）max”。下面我们再看另外一种方法：

解法二：很容易求出f（x）=x2-x+1。函数f（x）的图象恒在直线g（x）=2x+m的上方？圳f（x）>g（x）恒成立？圳f（x）-2x>m恒成立？圳（f（x）-2x）min >m。因为f（x）-2x=x2-3x+1，所以令F（x）=x2-3x+1，则F（x）在[-1，1]的最小值是：F（x）min=F（1）=-1。于是由（f（x）-2x）min>2m得：m<-1。

评注2：解法二与解法一的答案不一样，存在一定的误差。哪种方法正确呢？下面我们再看一种解法：

解法三：易求出f（x）=x2-x+1。函数f（x）的图象恒在直线y=2x+m的上方？圳f（x）>g（x）恒成立？圳f（x）-2x-m=0即x2-3x+1-m>0。通过数形结合作图1。由图可知，要使f（x）-2x-m>0在[-1，1]恒成立，只需f（1）>0，解得：m<-1。

评注3：解法二与解法三的答案都是m<-1，即m∈（-∞，-1）。而解法一是m∈（-∞，- ）。所以解法一的结论可能是错误的。下面我们分析解法一的误差产生的原因。如图2。

设直线y=2x+m与二次函数f（x）=x2-x+1切于点A。易知二次函数f（x）=x2-x+1的顶点坐标C（ ， ），即二次函数在[-1，1]的最小值f（x）min= 。

由于直线y=2x+m与二次函数f（x）=x2-x+1相切。所以联立方程y=x2-x+1y=2x+m，得x2-3x+1-m=0，则△=0，解得m=- 。即此时的切线为：y=2x- 。由图2可知，当直线向上平移时，就不满足f（x）的图象恒在直线y=2x+m的上方。因为此时的x∈R，这刚好是解法一的m的取值结果。当然这与已知条件x∈[-1，1]不相符。

但是，当直线y=2x+m向上平移，过点D（1，1）时，此时的m=-1。由图可知当x∈[-1，1]时，直线y=2x+m再向上平移时，就不满足题意。故m<-1。所以m<-1是例1的正确答案。

小结：解法一转化是不对的，原因在于运用“大于最大值，小于最小值”这一方法时，采用分离变量方法得到的不等式一边是参数，另一边是关于x的代数式。而上述的解法一中两边都是关于x的代数式，在求解时就不能保证x值的一致性。所以本题可先分离变量，再运用“大于最大值，小于最小值”求解，如解法二、解法三和下面的例3。

例2.已知函数f（x）=-x3+tx，g（x）=- x ，且f（x）

解：由f（x）0，则F（x）单调递增。所以当x= 时，F（x）在（0，1]取得最小值。即F（x）min=F（ ）=- 。所以，t<- 。在求参量的取值范围时，如果两边是关于不同变量的代数式，在用最值法求解时就不需要考虑自变量值的一致性，那么最值法在解决这类恒成立问题时效果非常明显。下面通过例3分析该方法的有效性。

例3.已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b≠0）在x=0取到极值2。若对任意的x∈[1，2]均存在t∈（0，1]使得et-lnt-1≤f（x），试求b的取值范围。

解：由题意，易求得c=0，d=2。若对任意的x∈[1，2]均存在t∈（0，1]使得et-lnt-1≤f（x）？圳（et-lnt-1）min≤f（x）min。令T（t）=et-lnt-1，则T′（t）=e- ，由T′（t）=e- =0得t= 。易验证T（t）在（0， ]上单调递增，在[ ，1]上单调递减，所以当t= 时，T（t）取得最大值，即T（t）max=1。

此时，f（x）=x3+bx2+2≥1在[1，2]恒成立？圳b≥-x- 在[1，2]恒成立？圳b≥（-x- ）min （注意常数分离）。令M（x）max=-x- ，由M′（x）= =0得x= 。易验证，当x= 时，M（x）取得最大值，即M（x）max= ，所以b≥- 且b≠0。

总之，恒成立问题是高中数学知识的一个热点问题，要想用最值法解决这类问题，必须掌握恒成立问题的实质，理解复合最值的使用条件，这样才能够事半功倍。

参考文献：

[1]罗布. “恒成立问题”解法例说[J]. 数学教学通讯（教师版）， 2011，（15）：60-62.

[2]葛爱通.解决“恒成立问题”的几个注意点[J]. 福建中学数学， 2011（12） ：46-48.

作者简介：

王志刚（1980- ），男，硕士。