关于薄透镜高斯公式物像关系数学形式的讨论

刘克杰 王文清 李强

[摘要]本文通过对薄透镜高斯公式物像关系数学形式的分析和讨论，得出其物像关系图形的数学形式是双曲线标准形式的转化。

[关键词]薄透镜 高斯公式 双曲线 转化

引言

在赵凯华、钟锡华编著《光学》一书中（第一版），第六十页上面有这样一个公式： ，此公式就是关于薄透镜成像的物像公式的高斯形式，而它就是双曲线标准形式的转化。

一、证明高斯公式是双曲线标准形式的转化

（一）物像关系图（可参见书中第六十页图6—3）

|f|=a

在上图中，我们假设它表示的曲线在xoy坐标系下是双曲

线。那么，根据图示可写出双曲线标准形式为 （1）

下面对标准形式做变换。

首先进行坐标平移，也就使xoy坐标系沿x轴负方向平移

个单位后变为x`oy`，这样就有： （2）

变换为： （3）

把（3）代入（1）式中有：

（4）

以上进行的第一步是坐标平移，下面作第二步工作是坐标旋转，也就是使x`o`y`坐标轴顺时针转π/4角度变成x``o`y``，

这样坐标变换就是： （5）

将 代入（5）中可得： （6）

将（6）式代入（4）有：

化简可得：

将（7）式两边同除以x``y``，有： （8）

将（8）式两边再同除以a，有： （9）

把（9）式与高斯公式进行比较，联系物像关系图可得

，

图中是以|f|=a为单位画出，所以有 ，代替后（9）变为 ，这就是所谓物像公式的高斯形式，其中：

s代表物体离薄透镜光心之间的距离，也就是物距。

s`代表物体经薄透镜成像后离薄透镜光心之间的距离，也就是像距

f代表薄透镜的焦距。

这样，就证明了薄透镜物像公式的高斯形式是双曲线标准形式的转化。下面，联系双曲线的性质与成像性质进行比较：

对双曲线： 的渐近线为y=±x （10）

利用（3）、（6）式将（10）化为在x``o`y``坐标系中，其渐近线的表示为：

化简得： ，这两条渐进线如图中所示。

从（3）、（6）两式可以得出，标准形式与高斯形式的坐标变换关系为：

二、讨论

（一）在双曲线顶点A处：

，联立（3）（6）可解出x``、y``：

这样即：s=x``=2a，s`=y``=2a。这就表示把物体放在薄透镜物方空间的二倍焦距的时候，在像方空间的二倍焦距处得到物的像，这就是顶点A所对应的物理意义，即二倍焦距处得到物体成像于二倍焦距处。

（二）在双曲线顶点o`处：

，联立（3）（6）可解出x``、y`` ：

这样即：

这就表示把物体放在薄透镜光心处不能成像，所以顶点 的物理意义：光心处物体不能成像。

（三）关于双曲线的渐近线

这说明它对应的是薄透镜的焦平面，处于焦平面的点成像无穷远处，或者无穷远处的物体成像与焦平面上。

以上就是关于双曲线与透镜性质的讨论。

[参考文献]

[1]赵凯华，钟锡华.光学[M].北京：北京大学出版社，1984：59-60.

[2]樊映川.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1980：79-83.

（作者单位：包头师范学院 物理科学与技术学院 内蒙古包头）