一类二阶非线性时标动态方程新的Kamenev型振动准则*

邱仰聪，王其如

(1.顺德职业技术学院人文社科学院，广东 佛山 528333；2.中山大学数学与计算科学学院，广东 广州 510275)

1988年，在导师Bernd Aulbach的指导下，德国数学家Stefan Hilger在他的博士论文中首次提出测度链的概念，从而创立了测度链上的微分方程理论，引起了国际数学界的普遍关注。后来，Bohner和Peterson系统分析了测度链上动态方程的重要一类：时标动态方程(Dynamic Equations on Time Scales)，见文[1-2]。在最近这些年里，国际上有许多数学家投入到对时标动态方程的解的振动性研究中，并得到了一系列有意义的研究成果[1-8]。

1 概 述

本文将研究时标T上的二阶非线性时标动态方程

(p(t)ψ(x(t))xΔ(t))Δ+f(t,x(σ(t)))=0

(1)

并假设以下条件总成立：

(C1)p∈CrdT,(0,∞)；

(C2)ψ∈C,(0,η]，这里η为某个正常数；

(C3)f∈C(T×,)，且存在一个函数q∈Crd(T,)且q(t)不最终恒等为0，使得uf(t,u)≥q(t)u2。

方程(1)的一个解x称为在t*∈T有一个广义零点，如果x(t*)x(σ(t*))≤0；称x(t)在T是非振动的，如果存在t0∈T使得∀t>t0有x(t)x(σ(t))>0。否则，就称x(t)为振动的。如果方程(1)的所有解都是振动的，就称方程(1)是振动的；否则，就称方程(1)是非振动的。

2012-2013年，Qiu等[3-4]中利用了H(t,s)型函数和广义Riccati变换技巧，分别给出方程(1)的区间和Kamenev型振动准则。在文[5]中，Del Medico和Kong考虑了二阶非线性时标动态方程

(p(t)xΔ(t))Δ+q(t)x(σ(t))=0

提出使用H(t,s,t0)型函数，给出了一种新的Kamenev型振动准则。受Del Medico等[5]的启发，本文利用H(t,s,t0)型函数和广义Riccati变换技巧，建立方程(1)新的Kamenev型振动准则，并给出例子对相关的定理进行说明。

为了简化记号，使本文更加简洁，在本文里记(a,b)∩T=(a,b)T，其中a,b∈，至于[a,b]T，[a,b)T和(a,b]T等也采用类似的记法。限于文章篇幅，相关的时标理论的预备知识请参考文献[1-2]。

2 基本引理

下面，先给出以下引理：

引理1 假设x(t)是方程(1)的一个解，满足当t∈[t0,∞)T，t0∈+时x(t)>0。定义

(2)

μ(t)u(t)-μ(t)B(t)+ηA(t)p(t)>0

(3)

且

(4)

证明首先，

μu-μB+ηAp≥μu-μB+Apψ(x)=

且

因此(3)式成立。然后对(2)式求导再用方程

(1)，则有

因此(4)式成立。证毕。

3 主要结果

令D0={s∈T:s≥0}，D={(t,s,t0)∈T3:t≥s≥t0≥0}。对任意函数f(t,s,t0): T3→，记和分别为f相对于t和s的偏导数。对于E⊂，记Lloc(E)为所有在E的任意紧子集可积的函数组成的空间。定义

ηA(s)p(s)±μ(s)B(s)>0,s∈D0};

H(t,t,t0)=H(t,t0,t0)=0,H(t,s,t0)>0,

t>s>t0≥0}。

(ηA(ρ(t))p(ρ(t))-μ(ρ(t))B(ρ(t)))]>0

(5)

其中Φ与前面的定义一致，以及

则方程(1)振动。

证明假设方程(1)非振动。不失一般性，假设存在t0∈[0,∞)T，使得当t∈[t0,∞)T时x(t)>0。令u(t)按(2)定义，则由引理1，(3)式和(4)式成立。

在(4)式两边乘上Hσ，并将t换成s，再对s从t0到t积分，其中t∈T且t≥σ(t0)，得到

注意到H(t,t,t0)=H(t,t0,t0)=0，于是有

Φ(ρ(t))(t-ρ(t))=0

(6)

实际上，如果ρ(t)=t，(6)式成立；否则σ(ρ(t))=t，使得H(t,σ(ρ(t)),t0)=H(t,t,t0)=0，因此由分部积分公式有

(7)

注意到

(8)

再者，对t≥σ(t0)，s∈[σ(t0),ρ(t))T，且u(s)≤0，

(9)

对t≥σ(t0)，s∈[σ(t0),ρ(t))T，且u(s)>0，

(10)

由(9)式、(10)式，有

(11)

由(6)式，类似地有

(12)

(13)

最后，由(7)式、(8)式和(11)式-(13)式，得到

(ηA(ρ(t))p(ρ(t))-μ(ρ(t))B(ρ(t)))≤0

从而与(5)式矛盾，故结论成立。证毕。

当(A,B)=(1,0)时，定理1可以简化为以下推论。

其中

则方程(1)振动。

更进一步地，若ψ(y)=y，f(t,u)=q(t)u，定理1将简化为文献[5]的定理2.1。

4 例 子

例1 考虑方程

(14)

故根据定理1，方程(14)振动。

故根据推论1，方程(14)振动。

参考文献：

[1] BOHNER M, PETERSON A. Dynamic equations on time scales[M]. Boston：Birkhäuser, 2001.

[2] BOHNER M, PETERSON A. Advances in dynamic equations on time scales [M]. Birkhäuser, Boston, 2003.

[3] QIU Y C, WANG Q R. Interval oscillation criteria of second-order nonlinear dynamic equations on time scales [J]. Discrete Dyn Nat Soc, 2012, Article ID 952932:16.

[4] QIU Y C, WANG Q R. Kamenev-type oscillation criteria of second-order nonlinear dynamic equations on time scales [J]. Discrete Dyn Nat Soc, 2013, Article ID 315158:12.

[5] DEL MEDICO A, KONG Q K. New Kamenev-type oscillation criteria for second-order differential equations on a measure chain [J]. Comput Math Appl, 2005, 50:1211-1230.

[6] DEL MEDICO A, KONG Q K. Kamenev-type and interval oscillation criteria for second-order linear differential equations on a measure chain [J]. J Math Anal Appl, 2004, 294: 621-643.

[7] HUANG H, WANG Q R. Oscillation of second-order nonlinear dynamic equations on time scales [J]. Dynam Systems Appl, 2008, 17(3/4): 551-570.

[8] WANG Q R. Oscillation criteria for nonlinear second order damped differential equations [J].Acta Math Hunger, 2004, 102:117-139.