Gerschgorin圆盘的分离

廖平

（四川职业技术学院，四川遂宁　629000）

Gerschgorin圆盘的分离

廖平

（四川职业技术学院，四川遂宁629000）

摘要：Gerschgorin圆盘定理是矩阵特征值估计的一个基本定理，给出了两个Gerschgorin圆盘可分离的一个充分条件，并通过数值算例进一步验证了所得结果的有效性.

关键词:盖尔圆盘定理;特征值估计;分布区域;圆盘分离

1　引言

1931年，G erschgor in证明了著名的G erschgor in圆盘定理[1,2]，指出矩阵Mn×n的所有特征值包含在以对角线元素为圆心的n个圆盘的并集中

若某个圆盘孤立，则该圆盘中有且仅有一个特征值，k个圆盘构成的连通区域定含k个特征值，但不保证每个圆盘都含一个特征值.因此，改进圆盘定理，分离连通圆盘以得到更准确的特征值估计受到人们的极大关注[3-5].其中最为简便的方法是利用正对角矩阵D=diag(d1,d2,…,dn)做相似变换.文献[5]给出了对角相似变换能分离两个连通圆盘的一个充分条件.即

定理A设A∈Cn×n，若存在i，j∈N,使Ri≠0，且

则A的第i个G erschgorin圆盘和第j个G erschgorin圆盘可分离.

本文给出两个连通圆盘能分离的另一个更易于验证的充分条件，进一步完善了文献[5]的结果.文中Cn×n表示所有n阶复方阵组成的集合.

2　主要结果

引理1设A∈Cn×n，若，则A的第i个G erschgorin圆盘和第j个G erschgorin圆盘分离.

定理1设A∈Cn×n，若的第i个G erschgorin圆盘和第j个G erschgorin圆盘可分离.

其中ε＞0为任意正数。

由引理1即得定理1.证毕.

注1：由定理1的证明知，若要分离第i个和第j个G erschgor in圆盘，只需取，然后按定理1中方法取对角矩阵做相似变换即可.同时，不难得出变换后矩阵B其余圆盘半径因此，若要减小变换对其余圆盘的影响，避免出现第i个和第j个圆盘分离后造成其余原本分离圆盘相交的情形，应尽量选取满足条件的更小的p值，使其余圆盘半径的变化尽量的小.

3　数值算例

例1设

显然矩阵A的两个G erschgorin圆盘G1与G2相交，不难计算s12=1＞0因此定理A不能用于此例.由本文定理1，容易验证，所以圆盘G1与G2是可以分离的，取

可以看出此时圆盘G1与G2已经分离，且三个圆盘均已独立.由G erschgorin圆盘定理知矩阵A的三个特征值分布范围分别是

例2设

显然矩阵A的两个G erschgorin圆盘G1与G3相交，但s13＜0，因此定理A仍不能用于此例.由本文定理1，容易验证，所以圆盘G1与G3是可分离的，取p=3.5＞3，D= diag(3.5,1,3.5,1)，则

此时圆盘G1与G3分离.且四个圆盘均独立.由G erschgorin圆盘定理知矩阵A的四个特征值分布范围分别是

注2：比较文献[5]之定理A和本文定理1，可以看出本文定理条件验证更为方便，且变换参数的选择具有更大的灵活性，当Ri(A),Rj(A)相对|aji| 较大时，需指出的是二者分别适用于不同类型的矩阵。

参考文献:

[1]R.A.Horn,H.R.Johnson.Matrixanalysis[M].Cambridge University Press,Cambridge,1985.

[2]詹兴致.矩阵论[M].北京:高等教育出版社,2008.

[3]陈祖明.矩阵特征值的一类新的存在性区域[J].应用数学学报,2001,4(2):177-184.

[4]樊启毅,周惊雷.矩阵特征值新的包含域[J].应用数学学报,2005,28(2):319-324.

[5]张平平,伍俊良,胡兴凯.G erschgorin圆盘的分离[J].西南师范大学学报(自然科学版),2011,36(3):1-3.

责任编辑：张隆辉

中图分类号：O151.2

文献标识码:A

文章编号：1672-2094（2013）04-0160-02

收稿日期:2013-06-28

基金项目：四川省教育厅基金项目《矩阵特征值分布研究》（13Z B0033）研究成果之一.

作者简介：廖平(1983-),男,四川自贡人，四川职业技术学院应用数学与经济系助教，硕士.主要研究方向为应用数学.