初中数学“根的判别式”的应用

在初中数学教学中，根的判别式不仅仅用于解决一元二次方程的有关问题，在二次三项式、二次函数等问题中的应用也极为广泛。我们若能熟练掌握它的各种用法，可以提高解题能力和综合应用知识的能力。下面举例说明它的几种常见应用。

要点复习：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式是△=b2-4ac

（1） △=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；

（2） △=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

（3） △=b2-4ac<0时，方程没有实数根。

反之也成立。

一、 解决一元二次方程根的情况的有关问题

例1 方程2x2+mx-1=0的根的情况是（ ）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.不能确定

解析：因为b2-4ac=m2-4×2×（-1）=m2+8>0，所以方程有两个不相等的实数根。故答案选A。

二、 解决根与系数的关系的有关问题

例2 关于x的方程x2-（m -1）x-3m-2=0的两个实数根的平方和为17，试求m的值。

解析：设该方程的两个根为x1、x2，则x1+x2=m-1，

x1x2=-3m-2，所以x12+ x22=（x1+x2）2-2 x1x2=m2+4m+5=17，解得m=-6或2。当m=-6时，△=m2+10m+9=-15<0，方程无实数根，应舍去；当m=2时，△=m2+10m+9=33>0，方程有实数根，故只取m=2。

三、 判定二次三项式是完全平方式的应用

例3 若关于x 的二次三项式x2+ kx+9是完全平方式，则k的值=______；

若关于x 的二次三项式（k+1）x2+kx-1是完全平方式，则k的值=______。

解析：因为x2+kx+9是完全平方式，所以x2+ kx+9=0有两个相等的实数根，即b2-4ac=k2-4×9=0，所以k=±6；同理，

k2+4（k+1）=0，得k=-2。

四、 解决根的判别式的判别式问题

例4 关于x的方程x2-2mx+2m+k=0有有理根，其中m为有理数，试求k的值。

解析：因为方程有有理根，所以△=4m2-4（2m+k）=4m2-8m-4k是完全平方式，因此判别式的判别式△′=0，即

82 -4×4×（-4k） =0，所以k=-1。

五、 判断二次三项式能否在实数范围内因式分解

例5 二次三项式2x2-3x+2能否在实数范围内因式分解？

解析：因为方程2x2-3x+2=0的△=（-3）2-4×2×2=-7<0，而这个方程没有实数根，所以2x2-3x+2不能在实数范围内因式分解。

六、可以利用根的判别式来求函数的最值问题

例6 试求二次函数y=x2-2x-3的最大（最小）值。

解析：将y=x2-2x-3变形为x2-2x-3-y=0，可以看作关于x 的一元二次方程。因为x是实数，△=（-2）2-4×1×（-3-y）≥0，所以y≥-4。

七、解决二次函数的交点问题

例7 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），试探究该抛物线与x轴交点的情况。

解析：令y=ax2+bx+c，则

（1）当△=b2-4ac>0时，ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1和x2，即抛物线与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0）；

（2）当△=b2-4ac=0时，ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1=x2，即抛物线与x轴只有一个交点（x，0）；

（3）当△=b2-4ac<0时，ax2+bx+c=0没有实数根，即抛物线与x轴没有交点。

练习：

1.试判断下列抛物线与x轴交点的情况：

2.已知抛物线y=x2-2x-m-1，试问

（1）当m为何值时抛物线与x轴有两个交点？

（2）当m为何值时抛物线与x轴只有一个交点？

（3）当m为何值时抛物线与x轴没有交点？

责任编辑：周瑜芽