《初等数论》课程教学改革探析

曾福庚

(琼州学院理工学院，海南三亚572022)

0 引言

数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数(即整数)分布以及数论函数等内容，统称初等数论(elementary number theory)［1］.我国师范类院校大都开设有这门课程.本校初等数论［2］是数学专业的一门专业必修课，这门课程在大学第6－7学期开设，教学时数为72学时.与其它数学专业课程比较来看初等数论似乎很简单，但真正教好、学好它并不容易.

本校数学专业主要以培养中小学教育人才为主，初等数论的内容与中小学教学以及奥数联系非常紧密.提高初等数论课程的教学水平和质量，一方面，对学生进一步的学习和毕业后的科学研究和实践有重要意义;另一方面，可以提高学生的逻辑思维能力，并且使他们能比较扎实地在较高层次上掌握中小学数学的一些知识，进而提高他们的教学能力.

此外，初等数论的理论和方法已广泛应用于现代密码学、算子理论、代数编码、最优设计、计算方法、组合代数及信息科学等诸多领域.因此，学习这门课程对学生来说非常重要.

目前高等院校中的初等数论课程教学内容相对陈旧，教学方法比较单一.而且在日常生活中的应用不明显.这些问题对于提高数论的教学质量而言十分不利.同时对培养具有灵活思维能力、具有创造力的未来中小学数学教师也更加不利.为此，本文针对初等数论课程的特点.从教学内容、教学方法和教学手段三方面对数论课程的教学改革进行了探讨.

1 教学内容的改进

在教学过程中，要有重难点分析.突出与实际生活联系密切的教学内容，淡化传统教学内容的陈旧部分.突出教材中与中小学数学联系紧密、能够启迪学生思维、经常用于竞赛数学命题的章节，如奇数与偶数、整除、质数与合数、约数与倍数、不定方程求解、同余理论、进制、欧拉函数、费马定理等知识点的教学.此外，在培养学生兴趣方面，介绍同余理论的时候可以引入密码学的相关知识，如讲述凯撒密码和RSA密码体制.

2 教学方法的改进

基础数学对大多数人来说，是一门枯燥乏味的学科.因而要调动学生的学习积极性，就要采用各种手段使他们喜欢上学数学.

2.1 增加数学史的知识 高斯曾经说过:“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”.数论中一些未解决的难题被称为“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去摘取.初等数论的萌芽、发生、发展直到完善，经历了一个漫长的时期，这其中有着很多数学家的贡献.甚至有的数学家为了坚持真理，献出了毕生的精力.在授课过程中，讲到某一部分时，可以把这一时期一些数学家的贡献、小故事讲给学生.例如，讲质数时，介绍哥德巴赫猜想，该猜想后来被希尔伯特列为世界上23个数学难题之一，猜想的论证过程更是充分地体现了合作精神的重要性，我国著名数学家陈景润于1966年证明了“1+2”是迄今为止世界上的最好结果;讲不定方程时，可以给同学们介绍中国是研究不定方程最早的国家，比古希腊数学家丢番图研究不定方程求解的问题至少早了200年.公元初的五家共井问题是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究.讲同余方程时，介绍我国的《孙子算经》是世界上最早提出同余方程的著作;此外，进行整数及相关内容的学习时，可适当地介绍我国著名数学家华罗庚、陈景润、潘承洞及王元等在数论发展方面所取得的卓越成就，这些数学史中都包含很多有趣的故事.实践证明，把这些数学史的内容穿插到初等数论教学中，可以提高学生学习数学的兴趣，从而对数学不感到那么枯燥乏味.

2.2 运用类比法［3］初等数论中，有相当多的知识内容是适宜用类比法组织教学的，譬如可将整数的整除性理论与一元多项式的整除性理论作类比，将最小公倍数与最大公因数作类比，将同余式性质与等式的性质作类比，将剩余类的运算和性质与数的运算和性质作类比，将一次同余方程(组)与一次方程(组)进行类比等等.在介绍新概念、新方法和新结论及其证明的过程中，将新知识和学生已有的知识进行类比联系，新知识的出现和探究会显得较为自然，学生接受起来相对轻松、容易，无形中降低了学生的认知难度，同时也增加了学习的趣味性.例如笔者在传授孙子定理时，会将孙子定理由特解而后求通解的想法和建立Lagrange插值公式联系起来，首先列入建立插值公式一节，这样有助于学生加强注意有关内容联系的意识.

2.3 启发式教学法 数论课程的传统教学普遍采用的基本模式是“严格的逻辑推理”，而忽视问题的来龙去脉.教材采取的基本格式大多数是“概念—定理—推论一实例”，内容的完整性、系统性强，但学生抓不住重点与难点，难以激发他们学习的积极性、主动性，从而导致多数学生无法领悟知识的真正内涵.启发式教学不仅能够提高学生理解和接受新知识能力，而且还能提高学生分析和解决实际问题的能力，同时有利于加强学生创新意识和创新能力的培养.这种教学模式的优点是加强了师生的互动性［4］.例如:在讲费马小定理时可以从实际的计算整数高次幂的同余问题引入重要的费马小定理，然后仔细地讨论历史上著名的寻找完全数的问题。这个问题虽然古老，但却是一个将唯一分解，正约数之和函数以及同余理论串起来的热点问题，它很好地解释了整除理论的用处、梅森素数的来源以及同余在简化计算上的作用.接下来为了推广费马小定理，很自然地引入欧拉函数，欧拉定理和原根.这样，就能使学生真正理解课本上形式化推理体系背后所包含的实际内涵.

2.4 引入双语教学［5］双语教学［6］是完成基础英语学习后向专业英语过渡的桥梁，目标显然是提高学生的(专业)外语能力和阅读(专业)英文文献的能力，培养和造就基础理论宽厚、专业知识扎实、外语交流通畅的复合型人才.通过双语教学使数学与应用数学专业学生掌握初等数论的基本知识，达到一般普通本科院校中文教学的要求，同时，能比较熟练的用英语表述数论问题，阅读数论书籍，并能熟练应用网络资源了解国际数论研究的成果.此外，在双语教学过程中，提高教师的英语能力和科研能力，形成“以教促研、以研促教”的教学科研局面，打造一支团结协作、锐意进取、与国际接轨、富有创新能力的高素质教学科研队伍.

3 教学手段的改进

3.1 应用多媒体技术［7］多媒体教学直观生动，图文并茂，能够培养学生创新意识，增加学生的学习兴趣.数学是集严谨性、逻辑性、创造性于一身的科学，而通过多媒体课件可以合理安排课堂信息量，掌握好课堂时间节奏，逐渐让学生适应多媒体课堂教学的气氛，同时，也可与学生进行适当的互动，及时掌握学生对授课内容的知识的渴望.当然应用多媒体技术的同时不能忽略传统教学手段，实践证明，数学这门学科，必须将现代化教学手段与传统教学手段互补，才能充分发挥其作用.一些定理的证明、题目的演算推导过程、做题中需要注意的地方，这些东西还是用板书在黑板上演示效果会更好一些.学生可以更好地体会做题的思路、步骤.在初等数论教学过程中，坚持“以学生为中心，教师为主导，手段为辅助”的原则，充分将传统的教学模式与多媒体教学有效结合起来，做到手段服从内容、方法服从效果，这样才能在有限的课堂教学时间里，最大限度地发挥传统教学与多媒体课件在提高教学质量方面的作用.

3.2 尝试多教师分段教学 传统的教学安排是一名教师教授一个班级一个学期的初等数论课程.与传统的教学相比，多教师分段教学是指:安排2名左右教师按照一定的顺序教授一个班级一个学期的该门课程的各章节内容.当然，前提是这些教师之间分工明确，教学目标相同，教学方法要各有所长，最后才能达到该门课程的终极目标.该教学方式的好处在于不仅可以发挥各任课教师的专项长.初等数论多教师分段教学可以这样分配任务，一名教师主要致力于中小学数学人才培养介绍基本的理论知识，另一名教师则主要介绍与其他学科交叉的更高深的知识.通过不同任课教师的不同的教学方法，让学生保持对这门课程的新鲜感，有效阻止了学生学习过程的审美疲劳，达到提高课堂教学质量的目的.

4 结束语

数学与应用数学是琼州学院本科办学的最早专业之一，专业的发展已初具规模而且正在一步一步地完善.初等数论作为一门基础性的课程，其教学质量直接关系到中小学教师人才的培养.根据琼州学院设立“国际化、开放型、特色鲜明的品牌大学”的宏伟目标的指导方针，加强课程队伍建设，继续应用现代技术深化教学改革，使初等数论课程成为具有学院特色，深受学生喜爱的教学示范课程.

［1］闵嗣鹤，严士健.初等数论(第3版)［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］潘承彪.初等数论［M］.北京:北京大学出版社，1992.

［3］谢红梅.浅议初等数论教学中如何践行类比法［J］.数学教学研究，2012(6):61－65.

［4］邱双月.高等师范院校初等数论课程改革一得［J］.中国成人教育.2010(15):172－173.

［5］李甜甜.数学双语教学方法的探讨.辽宁教育行政学院学报，2008，25(10):104－104.

［6］郑大湖.我国高校双语教学研究十年:回顾与展望［J］.外语界，2013(1):54－61.

［7］李艳军，臧雨亭.高等教学中的多媒体技术应用［J］.科技文汇(下月刊)，2009(7):102.