可化为一阶线性微分方程的例子

钟小芳，蒋中

（1安徽中医学院数理教研室，安徽合肥230031；2.安徽建筑工业学院，安徽合肥230601）

可化为一阶线性微分方程的例子

钟小芳1，蒋中2

（1安徽中医学院数理教研室，安徽合肥230031；2.安徽建筑工业学院，安徽合肥230601）

通过可化为一阶线性微分方程例题介绍，帮助学生灵活掌握一阶线性微分方程不变的实质，以不变应万变.

一阶；线性；微分方程；通解

例1 解方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0

分析 此题看上去难以和（1）类同，但变形后，注意（1）中y形式的可变，就不难找出（1）的影子.式中x,y是同号，当x>0时，原方程可变形为，从而，这是以为因变量，以x为自变量的一阶线性微分方程,可用（2）来求解，此时（2）中y变为[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+c],于是，原方程的通解为

例4 解方程y'+siny+xcosy+x=0

分析 这是一个非线性方程，但经过三角变形，就可转化为一阶线性微分方程.

例5 解方程(y4-3 x2)dy+xydx=0[3]

以上几个例子都是以“一阶线性”的不变性，去应对变量y、x的多变性.意识到应用（1）式解题时，要认清（1）式中不变的实质，以不变应万变.我们知道伯努利方程+P(x)y=Q(x)y（nn≠0,1）（6）不是一阶线性方程，但是通过变量的代换，便可以把它转化为（1）的类同形式，即(1-n)p(x)y1-n=(1-n)Q(x)（7）[4].有了（6）式，使（1）的应用更加丰富；有了（6）式，找到了某些一阶微分方程通向（1）式的桥梁.

分析 此方程直接积分法求解行不通.但可以验证y1=x是（8）的一个解，对（8）作变量替换y=x+u，这样就可以将（8）化为（6）式来求解.

由（2）知，u-1=1+cx，故原方程的通解为y=x+

一般情况下，黎卡提方程[5]（9）不可能用积分法求解，但如果知道（9）的一个特解，就可以变量替换将（9）变为（6），再转化为一阶线性微分方程，求解就迎刃而解了.

〔1〕同济大学数学系.高等数学[M]．北京：高等教育出版社，2002.276-278.

〔2〕王益姝，胡福源，王仁德．高等数学试题解答[M]．湖北人民出版社，1981.382.

〔3〕王寿生，赵选民，符丽珍．考研数学真题详解及考点分析[M]．西北工业大学出版社，2002.99.

〔4〕周永治，严云良．医药高等数学[M]．3版．北京：科学出版社，2009.194-198.

〔5〕艾利斯哥尔兹．微分方程[M]．北京：人民教育出版社，1978.17.

O175.1

A

1673-260X（2013）03-0009-02

本文受到校级精品课程（zlgc201214）资助