关于复变函数和数学分析主要内容的类比

杨吉英

（普洱学院数学系，云南普洱665000）

关于复变函数和数学分析主要内容的类比

杨吉英

（普洱学院数学系，云南普洱665000）

复变函数是数学分析中的微积分在复数域上的推广.在教学过程中，类比复变函数和数学分析中的主要内容，能加深对新旧概念的掌握，完善学生知识结构，提高学生的创新能力.

复变函数；数学分析；类比

复变函数是数学分析的后续课程，是数学分析中关于实函数的连续、微分、积分和级数等理论在复数情形下的延续.在教学中应当勤于比较和善于比较，既要重视共性，又要抓住不同点，切实关注在推广到复数域后出现了什么样的新情况新问题，探讨出现新问题的原因，只有这样才能理解概念的本质，融会贯通.下面从函数、极限、导数、积分、级数五个方面类比了复变函数和数学分析.

设y=f(x)是定义在区间I上的实函数（其中x∈I），而w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)（其中z=x+iy∈D,x,y∈R）是定义在z平面上的区域D上的复变函数.

1 函数

联系：复变函数的定义，形式上和数学分析中单元函数的定义一样，只是自变量取的是复数.对一个复变函数w=f(z)的研究可以转化为对两个二元实函数u(x,y),v(x,y)的讨论.

区别：

1.1 实函数y=f(x)的自变量是实数，它反映两个实数轴x轴和y轴上点集的对应关系，用一个平面上的一条曲线就可以直观的表示.而复变函数w=f(z)的自变量是复数，复数不能比较大小，在映射f的作用下，把z平面上的点集D映成w平面上的点集G，因而需要用两个复平面来表示.在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，而是把它们都看做是z平面上的点集D与w平面上的点集G之间的一种对应.

1.2 复变函数中对函数多值性的研究是明显不同于数学分析中函数性质的讨论.

1.3 初等解析函数是一元实初等函数在复数域上的推广，但是推广了后出现了许多新性质，如复指数函数w=ez在整个复平面上是不等于零的，而且它是以2πi为基本周期的周期函数，即ez=ez+2πi，k是整数，但实指数函数没有周期性.复正弦余弦函数sinzcosz在z平面上是无界的，而实正弦余弦函数sinxcosx在R上是有界的.

1.4 复变函数中我们主要研究的对象是解析函数，函数的解析类似于数学分析中的可导或可微，但要比可导或可微更强.w=f(z)在z0∈D处解析是指，在该点可微且在该点的某邻域内的每一点都可微，而w=f(z)在D上解析是指在D内的每一点都可微.从而就会出现只在某个孤立点或一条直线上可微，但在z平面上处处不解析的情况.定义在单连通区域D上的解析函数具有无穷可微性，即只要解析函数f(z)在D内一阶可导，则在D内f(z)的任意阶导数都存在，且其各阶导数的内部值可以用解析函数f(z)的边界值来表示.

2 极限

联系：不管是在复数域还是实数域，研究函数的连续性、微分、积分和级数的工具都是极限.复变函数极限和连续的定义和实函数极限和连续的定义在形式上是一致的，运算法则和性质都相似，而且都是借助极限的概念来定义函数的连续性.此外，研究复变函数的极限和连续性问题可以转化为研究两个二元实变函数（其实部和虚部）的极限和连续的相应问题.

区别：

3 导数

联系：复变函数的导数和可导性、微分与可微性是利用类比的方法从一元实变函数的相应概念推广到复数域后得到的，它们在形式上与一元实变函数的导数、微分是一致的.

区别：

3.1 实变一元函数的可导和可微是等价的，实变二元函数的两个偏导数存在且连续，才能推出该函数是可微的.而判定复变函数f(z)在z（0或区域D）可导的充要条件中，不仅要求实部u(x,y)和虚部v(x,y)是可微的或偏导存在且连续，还要求u(x,y)和v(x,y)必须满足Cauchy-Riemann条件即其根本原因是其根本原因是f(z)在z 0点可导，由导数的定义可知，极限与z→z0的方式无关.

3.2 复变函数的导数的定义的形式上看，f'(z0)也刻画了f(z)的值在z0处随自变量变化的快慢程度.但f'(z0)是一个复数，复数不能比较大小，因此，变化的“速率”应当用模|f'(z0)|表示，从这个意义上可以说f'(z0)表示了函数f(z)在z0处的“变化率”.事实上，根据解析函数导数的模的几何意义可知，|f' (z0)|表示过z0的曲线经映射w=f(z)后在z0处的伸缩率，它刻画的是该函数在z0处的一种变化率.

3.3 一元实变函数的微分中值定理能不能直接推广到复数域上.一元实变函数的微分中值定理是以Fermat引理为证明的理论基础，但在复数域中没有极值点的概念，也就是说Fermat引理在复数域内是不成立的.Rolle定理在复数域上是不成立，但可以把一元实函数的Lagrange中值定理，Cauchy中值定理推广到二元实函数上，再推广到复数域上.下面仅以Rolle定理为例来说明.

Rolle定理设y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导且f(a) =f(b)，则至少存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0.

该定理不能直接推广到复数域上的原因主要有以下两点：

（1）复变函数w=f(z)在某点处连续和可导是在该函数定义在z0的某个领域上讨论的，仅在实轴或虚轴的某个区间上不能讨论连续性与可导性.即使定义在复平面内某个以z1和z2为端点的线段上也不行.

（2）若将Rolle定理的前两个条件放宽为f(z)在复平面的某区域D内解析，将第三个条件f(a)=f(b)改为f(z)在D内某线段的两个端点z1与z2上相等，结论也不一定成立.如设f(z)=ez，复指数函数在z平面上是解析，且以2πi为基本周期即ez=ez+2kπi，k是整数，但由于(ez)'=ez≠0，所以在以z1与z2为端点的线段内，不存在一点z使得(ez)'=0，故Rolle定理不成立.

4 积分

联系：复变函数的积分和实函数的积分，从定义上看，都是分割、取近似值、求和、取极限的思路.复变函数的积分与实变函数的定积分的计算规则与基本性质基本相同，复变函数积分中还有与微积分学中的基本定理和Newton-Leibniz公式相对应的结论.复变函数的积分∫cf (z)dz与数学分析中的第二类线积分有不少相似之处，如：积分路径C是D内的分段光滑的有向线段，当被积函数给定后，积分值不仅与C的起点和终点有关还与积分路径C有关.

区别：

4.1 复积分和第二类线积分的积分和式的结构不同，复积分和式中的每一项都是两个复数的乘积，而第二类线积分的积分中的每一项都是两个向量的数量乘积，而且两者的积分表达形式不同.

4.2 由原函数存在定理可知只要被积函数是积分区间上的连续函数都可以应用Newton-Leibniz公式求定积分，而对复变函数而言，要应用Newton-Leibniz，需要被积函数f(z)在单连通区域D内连续且处处解析的时，才有-F(z1)，z1和z2必须在单连通区域D.

4.3 复变函数的积分实质上是z平面上的线积分，从而也就有了周线积分的问题，相应的就有cauchy积分定理、复合闭合定理、cauchy积分公式、高阶导数公式等.

5 级数

联系：Weierstrass级数理论是实变级数理论的推广，复数列的敛散性可以由两个实数列的敛散性确定，复级数的敛散性可以由两个实级数的敛散性确定，因此数学分析中关于实级数敛散性的判别方法和技巧都可以在复数域上应用.

区别：

5.1 复函数展成Laurent级数的条件比实函数展成Taylor级数的条件要弱，只需要复函数f(z)在z0处解析即可.而实函数f(x)在x0处展成Taylor级数，需要在x0处的任意阶导数存在.实函数中要求Taylor公式中的余项趋于零，而对解析函数而言，余项自然趋于零.因此，复变函数展成Taylor级数的应用范围就比实变函数情形要更广.

5.2 实变级数理论在复数域上推广后，出现了两种级数Taylor级数和Laurent级数.Laurent级数是Taylor级数的推广，一个函数的解析性由Taylor级数刻画，而Laurent级数刻画了函数的奇性.

在复变函数教学过程中，引导学生对复变函数和数学分析的主要内容进行类比，这样不仅能够提高学生原有知识准备水平和概括水平，而且还能促进学生正迁移的发生，提高学生的自主学习能力和创新能力.

〔1〕钟玉泉.复变函数论（第三版）[M].北京:高等教育出版社, 2003.

〔2〕余家荣.复变函数（第三版）[M].北京:高等教育出版社, 2000.

〔3〕华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].北京:高等教育出版社，2001.

O174.5

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1673-260X（2013）09-0012-02