低速转鼓中颗粒流态的滞后转变行为

欧阳鸿武，黄立华，程 亮，黄誓成，王 琼，刘卓民，张 新

(中南大学 粉末冶金国家重点实验室，长沙410083)

颗粒态物质，如金属粉末，陶瓷粉末，沙和水泥，谷物和豆类以及面粉等，在生产过程和人们的日常生活中普遍存在，是除水以外人类使用量最多的物质。自1991年诺贝尔物理奖获得者Gennes教授提出“软物质”的概念[1]，到2005年科学杂志将颗粒物质的动力学描述列入当今世界未解科学难题[2]，看似简单的颗粒物质被视为传统固体、液体和气体之外的第四态物质[3]，激起高度关注和大量研究。其中，颗粒材料的堆积、堵塞、坍塌、密集流动、混合分聚等是备受关注的热点和难点问题[4−8]。

在研究颗粒运动的几类实验装置中，转鼓结构简单，颗粒的流动行为复杂多样，易于观察和控制(当几何结构确定，转速Ω是控制流动的唯一参数)，并且在工业上应用相当广泛，因此，转鼓中颗粒物质的运动成为研究热点[9−14]。随转鼓速度变化，颗粒流态将发生相应改变。当转速较低时，表现为间歇坍塌(DA)和连续致密流动(CF)两种状态。流动处于间歇坍塌状态时，颗粒物质的表面倾角随转鼓转动增大，由安歇角增加至最大稳定角后，表层颗粒发生坍塌，随后表面倾角又回复到安歇角；连续流动状态下，表层颗粒像液体一样流动，并保持基本稳定的表面倾角[9−10]。1990年，Rajchenbach[9]实验发现临界转速与转速变化的方向相关：当转鼓速度由低到高加快至临界转速Ω+时，从间歇坍塌转变为连续流动；当转速由高到低逐步减慢至Ω−时，流态由连续流动转变为间歇坍塌，2个临界转速不相同，Ω+−Ω−＞0，即所谓的流态转变滞后。

关于转鼓中颗粒流态转变滞后机理存在几种不同解释。Rajchenbach[9]认为该现象是由于间歇坍塌和连续流动状态中颗粒向下滚落过程持续时间的差异所致。Benza等人[15]指出在间歇坍塌到连续流态之间的临界转变中摩擦力起了关键作用。最近，Fischer等人[16]发现2种流态在临界转速范围及特定观察时间内均可以单独出现或两者共存，坍塌过程产生的随机扰动使体系在2种流态间自发转变。由此，对流态转变滞后的根源引起了新一轮探讨[17]。本文选择球形钢珠和异形沙2类颗粒进行低速转鼓的流动实验，尝试对颗粒流态临界转变滞后现象提出新的解释。

1 实验

1.1 实验装置

实验装置示意图如图1所示，转鼓直径为130 mm，前后端盖相距62 mm，前端盖为平面透明玻璃，转鼓固定在由电机驱动的水平转轴上，转速通过变频微调装置控制，转速在0.8～110 r/min之间连续可调，读数精度为0.05 r/min。在转鼓正前方放置照相机拍摄颗粒运动(Canon，EOS7D)，相机快门最快速度为1/8 000 s。

图1 转鼓装置示意图Fig.1 Sketch of rotating drum setup

实验选用的颗粒为：平均粒径d分别为5 mm和3 mm的钢球；烘干过筛的多面体形砂粒，粒度分别为2.5～3.5 mm和1～2.5 mm。颗粒形貌如图2所示。转鼓的颗粒填充率Φ均为50%，当颗粒类型、尺寸和填充率确定后，实验中唯一的控制参数为转鼓的转速Ω。

图2 颗粒形貌照片(钢球和砂粒)Fig.2 Morphologies of granular(steel ball and sand)

1.2 实验方案

(1)逐步提高转速，颗粒物质由间歇坍塌向连续流动转变：实验从装置下限转速0.8 r/min开始，逐渐增加转速，观察颗粒运动状态的变化情况。当颗粒物质呈现连续流动时，即在足够长时间内(约50 s)没有出现间歇流态，记录下此时的临界转速Ω1；(2)逐步降低转速，颗粒物质由连续流动向间歇坍塌转变：实验由颗粒物质处于充分发展的连续流动状态开始，转速远高于Ω1，以(1)中同样的步长逐渐降低转速，观察颗粒运动状态的变化情况。当发生堵塞时连续流动停止，出现间歇坍塌流态时，同样在足够长的时间内仍出现堵塞行为，记录此时的临界转速Ω2。

为了精确地获得2个临界转速，采取如下步骤反复调节：(1)从Ω2开始增加转速，但转速调整步长更小，直至出现连续流动，用此时的转速替换上一次记录的转速Ω1；(2)从Ω1开始降低转速，直至出现间歇坍塌，并用此时的转速替换上一次记录的转速Ω2；(3)重复进行上述2个转速调整步骤，直至前后2次测量的Ω1和Ω2基本不变。上述Ω1和Ω2的测量过程重复进行5次，取其平均值。最终获得的临界转变速度Ω1和Ω2分别对应于转速上升和下降时的临界转速Ω+和Ω−。

2 实验结果

实验中钢球和砂粒间歇坍塌前后及连续流动状态的典型实验照片如图3所示。表1所列为实验测得的临界转速、颗粒自由表面的最大稳定角θm和安歇角θr以及Δθ=θm−θr。从表1中可见，钢球比砂粒的临界转速略低一点，但临界转速的差值均相同，均为0.45 r/min。砂粒的表面倾角明显大于钢球的表面倾角，但最大稳定角与安歇角的差值Δθ大致相同。

3 分析与讨论

转鼓中颗粒流态在连续流动和间歇坍塌之间的转变行为及其过程十分复杂。上世纪80年代，Bak等人[18]创立自组织理论时，曾以沙堆作为原始模型，认为沙堆表面倾角具有自组织临界特征。然而，Nagel等人[7−8]断然否定了自组织理论对沙堆坍塌行为的适应性，并指出沙堆间歇坍塌表面存在2个不同的稳定角：最大稳定角θm和安歇角θr，并非自组织沙堆模型中只有1个稳定角。因此，沙堆表面间歇坍塌运动并不满足自组织原理，而颗粒的连续流动状态较好地满足自组织原理[19]。间歇坍塌和连续流动有显著区别，2种流态间的转变有着更为深刻的原理。

3.1 颗粒流态滞后转变的现象学解释

对于低速转鼓中颗粒流态转变的滞后现象，Rajchenbach[9]认为间歇坍塌和连续流动状态中颗粒下落时间的差异是产生滞后现象的根源，并提出颗粒从间歇坍塌转变为连续致密流动应满足条件：颗粒从斜面顶部运动至底部的时间t与相邻2次坍塌的平均时间间隔T应相等：

式中，θstart和θstop分别为间歇坍塌状态下坍塌开始和坍塌结束时的颗粒表面倾角。Rajchenbach根据间歇坍塌和连续流动时颗粒从顶部下滑到底部的时间分别为t1和t2，定义2个临界转速Ω+和Ω−：

在逐渐增加或降低转鼓转速的实验过程中，发生流态转变的临界转速并不相同，分别为Ω+和Ω−，并有Ω−＜Ω+；颗粒物性不同，发生转变时的临界转速略有差别，如钢球的临界转速略低于砂粒的临界转速。根据实验结果，颗粒的间歇坍塌和连续流动之间的流态转变确实存在滞后行为，并且颗粒物质流动状态的转变具有临界特征。

值得注意的是，式(1)中，θstart和θstop的测量必须在颗粒处于间歇坍塌状态下，因为在连续流动状态的表面倾角为θc，不存在θstart和θstop。即使是间歇坍塌状态，θstart和θstop也往往并非确定不变的常数，而是存在一定的涨落。根据文献[20]，间歇坍塌过程中颗粒自由表面倾角的变化情况可表达为：

式中：Δθ=θm−θr；t为实验过程的观察时间；坍塌持续时间τ～(R/gΔθ)1/2；R为转鼓半径；g为重力加速度。

坍塌规模Δθ与特征坍塌时间τ相关联：Δθ越大，τ越小(τ=0.64 s)；相反，Δθ越小，τ越大(τ=0.83 s)。坍塌规模降低时(Δθ越来越小)，特征坍塌时间τ不断延长，颗粒的流动趋向于连续流动；坍塌规模增大时，特征坍塌时间变短，颗粒的流动趋于维持间歇坍塌。自由表面倾角随转速改变而变化：(1)当转鼓速度由低到高逐步加快时，体系从间歇坍塌转变为连续流动前，颗粒表面的最大稳定角θm逐渐减小，安歇角θr逐渐增大，两者差值Δθ(即坍塌规模)随之减小，直至在某一临界转速Ω+下，间歇流动转化成连续流动，表面倾角为θc(注意：θc与转速Ω呈线性关系或平方根关系变化[12])；(2)当转速由高到低时，颗粒流态由连续流动向间歇坍塌转变过程中，表面倾角θc不断降低，在某一转速Ω−下，表面流动停止，颗粒流动转变为间歇坍塌，坍塌前后的表面倾角分别为θm和θr，2个角度的差值随转速进一步降低而增大。不论是提高还是降低转速，颗粒流态发生转变时，自由表面倾角的变化都很小，并且堵塞状态持续的时间也很短。

表1 钢球和砂粒发生临界转变的转速和表面倾角Table 1 Critical rotation rates and surface inclined angles of steel ball and sand under critical transition

图3 坍塌和连续流动实验照片，(a)−(c)为3 mm钢球，(d)−(f)为2.5～3.5 mm沙粒。(a)−(b)和(d)−(e)分别为坍塌前后的表面角，(c)和(f)为连续流动Fig.3 Experimental images of avalanche and continuous flow,(a)−(c)for 3 mm steel balls,(d)−(f)for 2.5−3.5 mm sand.(a)−(b)and(d)−(e)show surface inclination before and after avalanche,respectively,(c)and(f)for continuous flow

由于实验不能精确测量t1和t2，直接采用式(1)判断滞后转变存在困难，但对颗粒在斜面上流动速度的定性分析为进一步研究提供了基本思路。

颗粒在气体环境中坍塌流动可达到的最终速度Vt为[21]：

式中：ρa为气体密度；ρp和Cp分别为颗粒密度和空气阻力系数；g为重力加速度；D为坍塌特征尺寸(对应于转鼓直径)。

由此计算得到沙和钢球的Vt分别为：16.3(cm/s)和28(cm/s)。连续流动时，颗粒从转鼓的顶部下滑到底部的时间t≈2R/Vt，分别为：t钢球≈13/28=0.46 s，t沙子≈13/16.3=0.80 s。颗粒的密度越大，流动的最大速度越高，钢球从转鼓顶端流动到下端的时间比沙子短。式(4)中Vt为最大速度，颗粒流动的实际速度往往低于Vt，因此，颗粒从转鼓顶端流动到下端的时间比计算值略长。

间歇坍塌状态下相邻2次坍塌的间歇时间T=Δθ/Ω+，根据表1中的相应数据计算得出5 mm钢珠，3 mm钢珠，2.5 mm～3.5 mm沙子以及1～2.5 mm沙子的2次坍塌间歇时间分别为：0.50，0.40，0.27和0.34 s。对比T与t的数学表达式和相应结果，在t相对稳定的情况下，可以通过改变转鼓的转速Ω(相应地影响坍塌规模Δθ)调节T的数值，使式(1)得以满足，实现间歇坍塌−连续致密流动的转变。

3.2 颗粒状态由流动到静止的滞后堵塞转变

下面，对转鼓速度的提高或降低出现流态滞后转变的动力学行为进行初步讨论。

(1)降低Ω。颗粒从连续流动到间歇坍塌的滞后转变可以这样解释：流动层中运动颗粒对静止底层颗粒的拍紧效应[22]，降低了静止颗粒材料的屈服极 限[23]，即颗粒堵塞转变的屈服应力值低于静态时的屈服应力值，因此，颗粒维持流动状态的能力增强，在较低的转速下仍能维持连续流动状态，流动层颗粒自由表面倾角θc与安歇角θr更为接近，颗粒流动层厚度越来越小，流动层处于不够稳定的缓慢流动中，由连续流动到间歇坍塌的转变表现出滞后行为。由此可见，流动颗粒的拍紧效应有利于维持颗粒的流动状态，使堵塞转变呈现滞后。

(2)提高Ω。从间歇坍塌向连续流动转变也存在滞后行为，亦即随转鼓转速提高，颗粒坍塌规模呈现减小趋势，颗粒坍塌特征持续时间延长，一次间歇坍塌的时间将不断延长，如果观察时间较短，将误以为进入了连续流动状态。实验中，对于Ω+的捕捉相对较难，等待时间随转速提高而增长，2次坍塌之间的间隔时间也越来越短(持续的坍塌过程可视为连续流动)。表层颗粒的流态混杂连续流动和瞬间堵塞的特征，如同交通流的“走−停”状态，只是停顿的时间短暂，表层颗粒中可能处于部分流动部分静止状态，此时，颗粒流态较为复杂而模糊，难以界定。

大体上，提高转鼓的速度，使颗粒由间歇坍塌向连续流动转变的滞后效应比较弱；而降低转速时，使颗粒从连续流动状态向间歇坍塌转变时的滞后效应比较强。颗粒流动状态的这种滞后行为与漏斗流中流态临界转变也有相似之处。研究发现[24]，漏斗流中，当颗粒来流的流量一定时，逐渐加大漏斗的开口尺寸与逐步降低开口尺寸的颗粒流出量也存在类似的滞后行为，但逐渐加大漏斗的开口尺寸时无明显滞后现象(保持密集连续流动，流量与漏斗开口尺寸服从Beveloo关系)，而逐步降低开口尺寸时，由于流态的变化导致流经漏斗的流量在临界开口尺寸处明显降低(由稀疏流动转变为密集流动，来流流量为临界流量)。流态的改变，导致流量的临界变化。转鼓的转速变化，在一定意义上，等价于漏斗开口尺寸的变化：提高转鼓速度类似于增大漏斗的开口尺寸。降低转速时，从连续流动到间歇坍塌的滞后效应更为明显。

3.3 剪切应力作用下颗粒堵塞转变及其记忆效应

自1998年LIU A-J等[23]采用堵塞相图将应力、温度和密度结合起来描述颗粒堵塞和流动状态以来，一直缺乏应力作用下颗粒堵塞行为的实验研究。最近，Massimo等[24]研究无摩擦零温度干颗粒在应力作用下的堵塞转变问题时发现存在滞后现象：在剪切应力σ＞0时，由于转变的滞后行为堵塞转变并非出现在σ=0处：在φ−σ(密度−应力)平面内的某个区域中，体系可能处于流动或堵塞态。在一定的剪切应力下，堵塞转变表现出滞后的特征，即在某一给定控制参数范围内，流动和堵塞态均可存在，取决于体系是从流体态还是堵塞态开始变化。当剪切应力σ很小时，体系不存在滞后行为或滞后量可以忽略；在大的剪切应力σ下，体系存在明显的滞后现象。

在滞后行为发生的控制参数范围内，存在许多颗粒构型(能量极小)以承受施加的应力。若体系从堵塞态到达其中一个构型中，体系具有零动能而保持堵塞态。相反，若体系从流动态到达某一能量极小处，其具有的动能又足够大，则可以越过该构型而不至于堵塞。事实上，滞后行为并非由于体系的部分结晶。在堵塞转变中观察到的滞后行为，及其与堵塞态黏性ηsol的关联可通过简单的模型予以定性的解释，该模型用于描述颗粒在具有多个极小值W(x)的能谱中的运动情况，颗粒受到2个力作用：驱动力f和黏性力-ηsol[24]：

实验和理论分析都证实，连续流动和间歇坍塌在Ω−和Ω+之间均可以存在，文献[20]认为存在1个自发游离开关，控制2种流态之间的转化。关于这一自发游离开关的作用机制引起了我们的特别关注，并且我们初步认为颗粒材料的记忆效应是自发游离开关存在的基本原因。颗粒材料的记忆效应，即颗粒的堆积状态(结构)及其力学性能与堆积过程(历史)相关。堵塞前流动状态不同，堵塞后的颗粒堆积结构也因此不同，如图4所示[27]。不同条件下的堵塞行为将对颗粒的力学性质产生相应的影响。在沙堆应力低陷现象的研究中早已发现颗粒材料力学特征[3,30]：不同方式形成的沙堆其底面应力分布不同，下雨法形成的沙堆没有应力低陷现象，而点源法形成的沙堆存在应力低陷效应。下面，结合颗粒介质在应力状态下的堵塞转变的记忆效应[30−31]，进一步探讨在Ω−和Ω+之间的某一转速下颗粒为何更倾向于间歇坍塌或是连续流动的问题。

图4 剪应力作用下的堵塞相图及相应的力网结构Fig.4 Jamming diagram and force network of granular material under shear

图5 验证实验的实验结果Fig.5 Results of verify experiment

显然，实验方案对实验过程和结果有直接影响，即颗粒的堵塞结构对运动状态的记忆效应对实验中转速和流态的调整过程有至关重要的作用。为验证颗粒记忆效应所产生的影响程度，将少量细小的示踪颗粒(10%)加入到大颗粒中，先采用较高转速使体系处于连续流态，体系转过数圈之后，指示性颗粒由于渗透作用停留在转鼓中心位置形成1个半径约2.5 cm的核。然后每隔3 s给转鼓1个扰动(形成1次坍塌堵塞)，形成如图5(a)中的初始形态，继续观察扰动结构的演化情况。实验发现体系在转10圈后，体系内的扰动结构继续发散形成了花瓣状斑图(图5(b))，在经过20 min后指示性颗粒才最终汇集在转鼓中心成为半径约2.5 cm的核。可见该扰动结构需要足够长时间后才渐渐消除，从而印证了颗粒堆积结构与流动过程的历史相关性，以及不同亚稳态结构之间转变的弛豫特征[31]。据此推断，文献[19]控制2种流态相互转化的自发游离开关，可能源于颗粒结构的记忆效应。间歇坍塌有记忆效应，连续致密流动也有记忆效应，因此产生维持原流态的滞后现象。从实验的角度，记忆效应是产生滞后的根源。

4 结论

1)颗粒材料间歇坍塌-连续流动之间发生流态转变存在2个不同转速(转速提高过程为Ω+，转速下降过程为Ω−)，实验测得转速的差值ΔΩ=(Ω+−Ω−)=0.45，即在本实部条件下存在流态转变的滞后现象。

2)根据对流态滞后转变的现象学分析，并将颗粒状态由流动到静止的滞后堵塞转变行为与剪切应力作用下颗粒堵塞转变及其记忆效应联系起来，认为不同流态下堆积结构的记忆效应是产生流态滞后转变的根源。据此推测，低速转鼓中颗粒流态的滞后转变是颗粒动力学行为的一个基本特征。

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