一类非线性四阶差分方程边值问题正解的存在性准则
2013-03-20刘览,胡宏
刘 览, 胡 宏
(徐州工程学院数学与物理科学学院 江苏徐州221008)
0 引言
差分方程不仅可以作为研究微分方程离散化的基本形式,还可以描述经济学、人口动力学中的实用模型.因此,非线性差分方程的研究备受关注[1-4].近年来,对两端简单支撑的非线性四阶差分方程边值问题
解的存在性的研究取得了丰富的成果[5-8].然而,对于如下四阶差分方程边值问题
正解的存在性研究却相对较少,其中,T2={2,3,…,T},f:T2×R→R连续且T>4,λ>0为参数.众所周知,两端固定支撑的弹性梁方程
在工程中有着重要的应用,对于问题(2)正解的存在性与多解性已有很多研究[9-15].值得注意的是问题(1)可以看作问题(2)的离散形式,研究问题(1)正解的存在性有助于求解(2)的数值解.同时,问题(1)也可以看作工程中两端固定支撑弹性梁的离散模型,文中获得问题(1)正解存在性的参数区间是最优的,这有助于解决实际问题中的数据选取,同时也对差分方程边值问题正解的存在性提供了一种研究方法.
1 主要结果
下面给出主要结果.
为了方便,引进一些记号:
定理1 假定f:T2×R→[0,∞)连续,令
(i)若0≤f∞≤f0≤+∞,则对任意的,问题(1)至少存在一个正解;
(ii)若0≤f0≤f∞≤ +∞,则对任意的),问题(1)至少存在一个正解,
其中,λ1为线性特征值问题
的第一个正的特征值.
注1 定理1中给出问题(1)正解存在的参数区间
是最优的.例如考虑如下边值问题
事实上,假设u为问题(4)的一个正解,则(4)两边同乘以φ,并从t=2到t=T求和,可得
由f的定义可知,
2 预备知识及主要工具
令 T1={0,1,…,T+1,T+2},定义空间
引理1 令h:T2→R.则边值问题
存在解
又因 u(T+2)=Δu(T+1)=0,故有证明 通过简单的和分运算,结合u(0)=Δu(0)=0,易得
从而(5)成立.
通过计算,不难证明格林函数G(t,s)满足如下性质:
其中,
G(t,s)≥σΦ(s),对任意的 s∈T1,t∈T2.
定义E中的锥P如下:
易证问题(1)等价于和分方程
其中,G(t,s)如(6)式定义.问题(1)的正解是指存在一对(λ,μ)满足 λ >0,u(t)>0,t∈T2且满足问题(1).
定义算子L,f:E→E如下:
则A=Lf.
引理2A(P)⊂P且A:P→P全连续.
证明 对任意给定的u∈P,有故A(P)⊂P.因E为有限维空间,结合f的连续性,从而可证A:P→P全连续.
根据引理可知,u={u(t)}Tt=+02是问题(1)的一个解,当且仅当u={u(t)}Tt=+02∈E为算子λA的一个不动点.下面考虑线性特征值问题(3)的谱.显然,(3)等价于算子方程u=λLu.
引理3 算子L的谱半径r(L)>0,且存在φ∈E满足φ(t)>0,t∈T2,使得 Lφ=r(L)φ且进一步,λ1=为线性特征值问题(3)的第一个正的特征值,且
证明 定义锥P0={u∈E y(t)≥0,t∈T1},则P0为一个内部非空的正则锥.从而E=P0-P0,即P0为E 中的完全锥.因 G(t,s)>0,(t,s)∈T2×T2,故存在 t0∈T2使得 G(t0,t0)>0,取 u∈E 使得 u(t)≥0,t∈T1,u(t0)>0 且 u(t)=0,t∉T2,则对任意的 t∈T2,有
从而存在常数c>0,使得对任意的t∈T1,有c(Lu)(t)≥u(t).根据Krein-Rutman定理[16]得,谱半径r(L)>0 且 φ0∈E 满足 φ0(t)>0,t∈T2,使得 Lφ0=r(L)φ0.
注意到,Lφ=r(L)φ等价于下面边值问题
对任意的x,y∈E,通过计算可得
令Lu为下列边值问题的唯一解
则
故(7)成立,引理得证.
作者所使用的主要工具:
引理4[16]令E为Banach空间,P⊂E为E中的一个锥,Ω为E中的有界开集.假设A:P∩Ω-→P全连续.若存在 x0∈P{θ},使得对任意的 x∈P∩∂Ω,μ≥0,有 x-Ax≠μx0成立,则 i(A,P∩Ω,P)=0.
引理5[16]令E为Banach空间,P⊂E为E中的一个锥,Ω为E中的有界开集.假设A:P∩Ω-→P全连续.若对任意的 x∈P∩∂Ω 且 μ≥1,有 Ax≠μx,则 i(A,P∩Ω,P)=1.
3 主要结果的证明
假设λA在P∩∂Br1中无不动点,若不然,(i)已证.下面证明
其中,φ由引理3定义.
反设存在 u0∈P∩∂Br1且 μ0≥0,使得 u0=λAu0+μ0φ 成立.易见,μ0≥μ0φ.
故
这与μ*的定义矛盾,从而(8)成立.根据引理4可得
定义和f(t,u)的连续性知,存在σ∈(0,1)和常数C>0,使得
下证W为E中的有界集.
对任意的 u∈W,存在 μ∈[0,1],使得 u=μλAu.由(10)知,u= μλAu≤λ1σLu+λCLv0,其中,v0(t)≡1,t∈T2.故(I-K)u≤CLv0,其中,K=λ1σL,I为恒同算子.因为 r(K)=λ1σr(L)<1,所以逆算子(I-K)-1存在且可展为(I-K)-1=I+K+K2+….结合 K(P)⊂P 可得,(I-K)-1(P)⊂P,从而u≤(I-K)-1CLv0.故 W为有界集.从而存在,使得 u≠μλAu,∀u∈P∩BR1,μ∈[0,1].
由引理5知,
因此,由(9)和(11),结合不动点指数的可加性知,
从而A在P∩(Br2)中存在一个不动点,即问题(1)至少存在一个正解.
下面证明
反设存在 u0∈[0,1]且 u0∈P∩∂Br2,使得 u0= μ0λAu0,则
从而λ1(1-ε)Lu0≥u0,给此不等式两边同时乘以φ,然后从t=2到t=T求和,结合(7)可得
对上面不等式两边同乘以φ,然后从t=2到t=T求和,结合引理4可得
选取R2>max{suup‖u‖,r2},使得
∈Ω
结合引理4,可得
由(13)和(14),结合不动点指数的可加性知,
根据不动点指数理论知,A在P∩(BR2)中至少存在一个不动点,即问题(1)至少存在一个正解.
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