扩＊-亚序与实＊-环

姜伟，黄冬明

（1.常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500；2.海南大学信息科学技术学院，海南海口 570228）

扩＊-亚序与实＊-环

姜伟1，黄冬明2

（1.常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500；2.海南大学信息科学技术学院，海南海口 570228）

在取定*-环的一个扩*-亚序T的基础上，研究了*-环的T-模和*-序的一些联系，刻画了*-环的实性的一个判别条件，并探讨了*-环的扩*-亚序、*-亚序和*-序的一些联系.

*-环；*-序；扩*-亚序；实代数

在本文中，R表示包含单位元1的环.R的一个变换*称作对合映射，如果满足(r+s)*=r*+s*，(rs)*=s*r*且(r*)*=r，其中r,s∈R；*-环一般表示带有对合*的非交换幺环.若有r*=r，其中r∈R，则称r是R中的对称元.我们定义S(R)={r∈R|r*=r}.一般来说，S(R)在R之中不是乘法闭子集，但是S(R)是R的一个加法子群.如果a,b∈S(R)，r∈R，则ab+ba∈S(R)，且rar*∈S(R).当然，如果*是一个恒等映射，那么R就成为一个交换环.本文涉及的扩*-亚序、*-亚序的定义和有关性质以及T-模、限制素*-理想、Jordan理想的定义均参见文献[3-7].

1 *-序的概念

定义1.1（参见文献[3]中定义1.2）设R是一个*-环，P是S(R)的一个子集，如果P满足如下条件：

（1）1∈P，-1∉P；

（2）P+P⊆P；

（3）r Pr*⊆P，∀r∈R；

（4）P⋃-P=S(R)；

（5）∀a,b∈S(R)，若aba∈P⋂-P，则a∈P⋂-P或b∈P⋂-P；

（6）若a,b∈P，则ab+ba∈P.

那么就称P是R的一个*-序.此时，集合P⋂-P称为*-序P的支集，并记为supp（P）.如果P仅满足上述条件（1）-（5），那么称P为R的一个Baer-序.

定义1.2环R称为实*-环，如果R具有*-序.

注：本文中所述*-环R如不特别申明，则均指实*-环.由于R的特征为0，从而可认定Z⊂R，其中Z表示通常的整数环.此外，本文用N表示通常的自然数集.

定义1.3（参见文献[3]中定义1.2）设R是一个*-环，P是R的一个*-序，如果R的一个子集Q满足如下条件：

那么就称Q是P的一个扩*-序.

定义1.4环R中的一个理想I称为*-理想，如果I*=I.

定义1.5[7]环R的一个理想I（I≠R）称为素理想，如果a,b∈R且aRb⊆I可得a∈I或b∈I.

定义1.6I称为*-环R的素*-理想，如果I既是R的*-理想又是R的素理想；I称为*-环R的限制素*-理想，如果I是R的素*-理想与S(R)的交集.

定义1.7I称为*-环R的Jordan理想，如果I不仅是R的一个子加群且满足

若a∈I，b∈R，则ab+ba∈I.

2 扩*-亚序和T-模

首先叙述*-环R的扩*-亚序的定义[3].

定义2.1*-环R的元素r=rπ(1)…rπ(n)称为元素r1,…,rn的一个置换积，其中π是集合{1,…,n}的一个置换.

定义2.2*-环R的一个置换积称为关于元素r1，，…，rn，嵌套，如果这个置换积中的元素满足rj出现在元素ri，之间当且仅当元素出现在元素ri，之间.

定义2.3设R是一个*-环，且M⊆S(R).T是形如a1,…,al，b1,b1…,bm,bm，r1，，…，rn，，ai∈M，bj∈S(R)，rk∈R，l,m,n＞0的元素关于元素r1，，…，rn，嵌套的置换积的有限和生成的集合，则称T是*-环R的扩*-亚序.

注：*-环R的扩*-亚序T满足如下公理：（1）T+T⊆T；（2）TT⊆T；（3）rTr*⊆T，∀r∈R；（4）T=T*.用T0(R)表示R的由空集生成的扩*-亚序，则T0(R)是R的最小的扩*-亚序.

设a∈S(R)，T是由S(R)的子集M生成的.则我们也能得到由M⋃{a}生成的扩*-亚序.这个扩*-亚序可以分解为T+T[a]，其中T[a]表示为如下所有元素a，a1,…,al，b1,b1…,bm,bm，r1，，…，rn，，ai∈M，bj∈S(R)，rk∈R，l,m,n＞0，关于元素r1，…，rn，嵌套的置换积的有限和生成的集合.

定义2.4设T是*-环R的一个扩*-亚序，R的一个素*-理想p称为T-相容的，如果对于任意的s,t∈T⋂S(R)，由s+t∈p都有s,t∈p.

命题2.5设T是*-环R的一个扩*-亚序，且p是R的一个T-相容的限制素*-理想，使得T⋂-T⋂S(R)=p.若T是R的满足上述条件的一个极大的扩*-亚序，则T⋂S(R)成为R的一个*-序.

证明显然，由文献[3]的注4.3知T[1]=T，从而1∈T⋂S(R).假如-1∈T.则1∈T⋂-T⋂S(R)=p.从文献[3]的定理4.7（1）知，存在*-环R的一个*-序P，使P⋂-P=p.从而1∈P⋂-P，即有-1∈P，矛盾于定义1.1（1），故-1∉T⋂S(R)，T⋂S(R)+T⋂S(R)=(T+T)⋂S(R)⊆T⋂S(R).设a∈T⋂S(R)，∀r∈R，则rar*∈T⋂S(R).这表明，r(T⋂S(R))r*⊆T⋂S(R).由于p是R的限制素*-理想，从而表明，对于任意的a,b∈S(R)，aba∈(T⋂S(R))⋂-(T⋂S(R))=T⋂-T⋂S(R)=p，导致a∈p或b∈p.利用T是R的满足命题条件的一个极大的扩*-亚序，由文献[3]中的定理4.7的断言1和断言2知，S(R)⊆T⋃-T，即(T⋂S(R))⋃-(T⋂S(R))=S(R).最后，设a,b∈T⋂S(R)，则ab+ba∈(TT+TT)⋂S(R)⊆(T+T)⋂S(R)⊆T⋂S(R).因此，T⋂S(R)成为*-环R的一个*-序.

命题2.6设T是*-环R的一个扩*-亚序，且p是R的一个限制素*-理想，则以下论断等价：

（1）存在一个扩*-亚序Q⊇T，使得Q⋂S(R)成为R的一个*-序，且supp（Q⋂S(R)）=p；

（2）p是T-相容的.

证明（1）⇒（2）：设R的一个扩*-亚序Q⊇T，使得Q⋂S(R)成为R的一个*-序，且supp（Q⋂S(R)）=p.再设s+t∈p，其中s,t∈T⋂S(R)，则s∈Q⋂S(R)，且s∈-t+p⊆-Q⋂S(R).于是，s∈supp（Q⋂S(R)）=p.同理可得，t∈p.这表明，p是T-相容的.

（2）⇒（1）：设Q是由(T⋂S(R))⋃p生成的扩*-亚序.由文献[3]中命题4.6（2）知，Q⋂-Q⋂S(R)=p.再由文献[3]中命题4.6（1）知，Q⋂S(R)=T⋂S(R)+p.由于p是T-相容的，从而可知p是Q-相容的.由Zorn引理，可设Q为满足条件：Q⋂-Q⋂S(R)=p的一个极大的扩*-亚序.再由命题2.5知，Q正为（1）中所求.

推论2.7设p是*-环R的一个限制素*-理想，则以下论断等价：

（1）p是R的某个*-序的支集；

（2）p是T0(R)-相容的.

我们有如下T-模的定义[3].

定义2.8对于*-环R的一个扩*-亚序T，R的一个子集Q称为T-模，如果Q满足如下条件：

（4）对于任意的a∈Q⋂S(R)，都有T[a]⊆Q.

以下设x∈S(R)，用Z+表示Z中的非负元，且Z+[x2]表示如下集合：

显然，Z+[x2]⊂S(R)，且对于*-环R的任意的扩*-亚序T都有，Z+[x2]⊆T.

命题2.9设T是*-环R的一个扩*-亚序，Q为R的一个T-模，使得T⊆Q，且-Z+[x2]⋂Q=ϕ.若Q是R的满足上述条件的一个极大的T-模，则有：

（1）p：=Q⋂-Q⋂S(R)成为S(R)的一个Jordan理想；

（2）S(R)⊆Q⋃-Q；

（3）Q⋂S(R)成为R的一个Baer-序.

证明（1）由于Q是R的一个T-模，从而p+p⊆p和-p=p显然成立.设Q′={b|b∈R,且2b∈Q}，则Q⊆Q′.显然，Q′成为一个T-模.假若对于某个f(x2)∈Z+[x2]，-f(x2)∈Q′，则-2f(x2)∈Q.从而-f(x2)=-2f(x2)+f(x2)∈Q，矛盾！因此，-Z+[x2]⋂Q′=ϕ.再由Q的极大性知，Q′=Q.

设r∈S(R)，b∈p，则4rb=(r+1)2b+(r-1)2(-b)⊆T[b]+T[-b]⊆Q+Q⊆Q.再由Q′=Q知，rb∈Q.同理，-rb∈Q，即rb∈Q⋂-Q.类似地，br∈Q⋂-Q.从而，rb+br∈Q⋂-Q⋂S(R)=p.因此，p是S(R)的一个Jordan理想.

（2）设a∈S(R).假若a,-a∉Q，则Q+T[a]和Q+T[-a]都是T-模，且有T⊂Q+T[a]和T⊂Q+T[-a]成立.由Q的极大性知，存在f1(x2)，f2(x2)∈Z+[x2]，q1,q2∈Q，以及t1∈T[a]，t2∈T[-a]使得

此时可设q1,q2,t1,t2∈S(R).因为，-f1(x2)-(f1(x2))*=q1+(q1)*+t1+(t1)*，其中-f1(x2)-(f1(x2))*∈-Z+[x2]⊆S(R)，q1+(q1)*∈Q⋂S(R)，t1+(t1)*∈T[a]⋂S(R).所以，在（2.1）中，不妨直接设q1,q2,t1,t2∈S(R).显然，(f1(x2))2f2(x2)∈Z+[x2].此时，

显然，(f1(x2)+t1)2f2(x2)∈T[f2(x2)]⊆Q.此外，由于f1(x2)，f2(x2)∈Z+[x2]⊆T，-(f1(x2)+t1)=q1∈Q⋂S(R)，且-(f2(x2)+t2)=q2∈Q⋂S(R).这表明，-f1(x2)(f1(x2)+t1)f2(x2)，-(f1(x2)+t1)f1(x2)f2(x2)，-t12(f2(x2)+t2)∈Q.最后，由于-t1=q1+f1(x2)∈Q⋂S(R)，且t1t2∈T[a]T[-a]⊆-T[a]T[a]⊆-T.于是，(t1)2t2.=(-t1)(-t1t2)∈Q.这表明，-Z+[x2]⋂Q≠ϕ，矛盾！从而a∈Q或-a∈Q.由a在S(R)中的任意性即知，S(R)⊆Q⋃-Q.

（3）证明类似于文献[3]中的定理5.2.

推论2.10设T是*-环R的一个扩*-亚序，使得-Z+[x2]⋂T=ϕ.若T是R的满足上述条件的一个极大的扩*-亚序，则T⋂S(R)成为R的一个*-序.

证明由所设可知，R有一个T-模Q，使得Q⊇T且-Z+[x2]⋂Q=ϕ，比如取Q=T.由Zorn引理，可进一步设这个Q是极大的.假若Q⋂S(R)≠T⋂S(R)，则存在a∈Q⋂S(R)T⋂S(R)使得T+T[a]是R的一个扩*-亚序，且T⊂T+T[a].由于T+T[a]⊆Q，从而-Z+[x2]⋂(T+T[a])=ϕ.这与题设矛盾！因此，Q⋂S(R) =T⋂S(R).再由命题2.9知，T⋂S(R)是R的一个Baer-序.此外，由于T对于乘法是封闭的，从而知T⋂S(R)还满足定义1.1的条件（6），即：若a,b∈T⋂S(R)，则ab+ba∈T⋂S(R).于是，T⋂S(R)成为*-环R的一个*-序.

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Extended*-preorderings and Real*-ring

JIANG Wei1,HUANG Dong-ming2
(1.School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China; 2.College of Information Science and Technology,Hainan University,Haikou 570228,China)

In order to describe the reality of a*-ring，the authors of this paper investigate some interplays be⁃tween the extended*-preorderings（or T-modules）and*-orderings on a*-ring.

*-ring；*-ordering；extended*-preorderings；real algebra

O153.5

A

1008-2794（2013）04-0001-04

2013-03-15

江苏省2010年度高校“青蓝工程”优秀青年骨干教师项目（苏教师〔2010〕27号）

姜伟，副教授，博士，研究方向：代数学，E-mail：jiangwei@cslg.cn.

*-环的概念是由*-域[1]的概念推广出来的.所谓*-域，是指带有一个对合映射*的斜域.有序的*-域有许多类似于实域的结果[2].近来，M.Marshall[3-4]已经把*-域的*-序概念推广到了*-环上，发展了*-环的*-序的有关理论.为了进一步研究*-环的实性，本文探讨了*-环的扩*-亚序、*-亚序和*-序的一些联系.在取定一个扩*-亚序T的基础上，进一步探讨了由M.Marshall在文献[3]中引进的T-模和*-序的一些联系.