回转曲面的可展切曲面

毛 昕， 杨静林， 马明旭

（东北大学机械工程与自动化学院，辽宁 沈阳 110004）

回转曲面的可展切曲面

毛 昕， 杨静林， 马明旭

（东北大学机械工程与自动化学院，辽宁 沈阳 110004）

论文系统地提出了构造回转曲面的可展切曲面及它们间映射分析的理论与方法，建立了回转曲面可展切柱面和可展切锥面的数学模型以及曲面间的映射关系。根据回转曲面及其可展切曲面间微分长度比的理论分析，推出了映射中极值映射曲线和等距映射曲线的微分方程，通过整体和局部的变形分析，可以准确地掌握回转曲面与其可展切曲面间映射中的变形情况。

几何计算；回转曲面；可展切曲面；映射分析

工程应用中，可展曲面的构造和分析近年来得到越来越广泛的关注和研究[1-4]。作者在前面的研究中，提出了曲面片的可展切曲面及其映射分析的理论和方法。对于曲面片Σ：r ( u, v)，沿其上任意曲线 Γ:r=r( u( t), v( t) ) =r( t)，存在一可展曲面 Σ1：r1( t, w) 沿曲线Γ与Σ相切，把 Σ1称为Σ的可展切曲面[5-6]，其表达形式为

式中 l( t)为 Σ1特征线（直素线）方向的单位矢量，n( t )为Γ曲线上参数t处曲面的单位法矢。可展切曲面及其映射分析的理论和方法可以在曲面结构设计、不可展曲面近似展开及误差分析和纹理映射及变形控制等方面得到应用[7]。在实际生产中，回转曲面有着非常广泛的应用，因此，本文在已有研究的基础上着重讨论回转曲面的可展切曲面，建立构造回转曲面的可展切曲面及其它们间映射分析的理论模型，并给出在近似展开及其变形分析中的应用实例。

1 回转曲面的可展切曲面

设回转曲面由 xoz坐标面上的曲线C:x=f( v), z=g( v)绕z轴旋转而成，曲面的参数方程为rv={f′( v ) cosu,f′( v) sinu, g′( v)}，可得曲面上任意点处的单位法矢（当 f( v)≥ 0时，取上面符号；当 f( v) ＜ 0时，取下面符号）

1.1 Γ曲线为经线时的可展切曲面

此时对于Γ曲线有：u=u0, v = t ，将其分别代入式（1）和式（2）得Γ曲线的方程

和Γ曲线上曲面的单位法矢

切曲面特征线方向的单位矢量

式中，当 f′( v ) g ′( v ) -f′(v ) g ′( v )≥ 0时，取上面符号，否则取下面符号。由式（4）可见 l( t)为常矢量，说明可展切曲面 Σ1沿 r( t)的各条直素线互相平行， Σ1一般为柱面。其方程为

1.2 Γ曲线为纬线时的可展切曲面

此时对于Γ曲线有：u=t, v=v0，将其分别代入式（1）和式（2）得Γ曲线的方程

和Γ曲线上曲面的单位法矢

切曲面特征线方向的单位矢量

由于特征线经过纬线Γ，且由式（7）可见，l(t)在z轴上的分量为常数，说明 l( t)与z轴有不变的夹角，所以 Σ1为圆锥面。其方程为

由上式可解得圆锥锥顶的坐标为

2 映射分析中的微分长度比

在映射分析中，首先建立回转曲面与其可展切曲面间的映射关系，之后通过整体映射关系分析两曲面间参数曲线长度的相对变化、对应区域面积的相对变化和对应参数曲线交角的相对变化；再通过局部映射关系分析对应点处各方向上的微分长度比，并进而获得曲面映射中的最大、最小长度相对变化曲线（极值映射曲线）和长度不变的曲线（等距映射曲线）。

2.1 回转曲面的微分长度比

微分长度比定义为对应点处沿某方向微分长度（弧素）的比值，即：

微分长度比

式中，ds和ds1分别为曲面∑ 和∑1在对应点处的微分弧长，E、F、G和E1、F1、G1分别为两曲面的第一基本量，由上式可见，长度比是曲面上点(u ,v)和切方向(dv/du)的函数。

对于回转曲面，微分长度比可以用方向角β来表示。图1中的ABCD为曲面在点A(,)u v处的微分单元，β为点A处的切方向(d/dv u)与纬线切向的夹角。容易看出：

图1 回转曲面的微分单元

将式（10）和回转曲面的第一基本量E=f2(v), F=0,G=f′2(v) + g ′2(v)代入公式（9）并整理有：

2.2 特殊方向的微分长度比

2.2.1 微分长度比取极值的方向

在式（11）中，把2μ对β求偏导并令其等于零，有=(C - A) sin2β+ 2B cos2β=0

代入式（10）并整理，有

上式即为极值映射曲线的微分方程式，两个解分别对应映射中变形最大和最小的两族曲线，曲线上任一点的切矢方向是该点处微分长度比取极值的方向。

2.2.2 微分长度比等于1的方向

在该方向上两曲面的微分长度相同，没有长度变化。令式（11）等于1，即

μ2=A cos2β+ Bsin2β + C sin2β=1可解得

将其代入式（10）并整理，有

上式即为等距映射曲线的微分方程式，两个解分别对应曲面映射中长度没有发生变化的两族曲线，该曲线上任意点的切矢方向是该点处微分长度比等于1的方向。

3 回转曲面与其可展切曲面间的映射

3.1 回转曲面与其可展切柱面间的映射

这时Γ曲线为回转曲面的经线，切曲面为柱面。如图2所示，回转曲面Σ中的点A映射为切柱面 Σ1中同纬度直素线上的点 A1，取Γ曲线的u 向参数为 U，并 取参数变换 t =v, w =f (v)tan(u- U)，将其代入式（5），便得到以 u, v为参数的 Σ1的方程

图2 切柱面的映射关系

由式（14）可得切柱面 Σ1的第一基本量

将其代入式（12），得到极值映射曲线的微分方程

式中：

再将切柱面 Σ1的第一基本量代入式（13），便得到等距映射曲线的微分方程

3.2 回转曲面与其可展切锥面间的映射

这时Γ曲线为回转曲面的纬线，切曲面为圆锥面。如图3所示，回转曲面Σ中的点A映射为切锥面 Σ1中同经度直素线上的点 A1，其中AA1⊥ CD。取变换

并将其代入式（8），便得到 u, v为参数的 Σ1方程：

式中：

由式（17）可得切锥面的第一基本量：E1=(f( v0) + ab( v ))2， F1=0，，由于 F1=0，根据极值映射曲线的微分方程式（12）可知，若d v=0,v=常数，即u曲线；若d u=0,u=常数，即v曲线。两族参数曲线即为映射中的极值映射曲线。

再将切锥面的第一基本量代入式（13），便得到等距变换曲线的微分方程

4 可展切曲面在环面片近似展开中的应用

下面以环面片为例说明回转曲面的可展切曲面在近似展开及其变形分析中的应用，这里把环面片用其可展切柱面进行替代来近似展开。

对于圆环面有：f( v) =R + r cosv，g( v)=r sinv，由式（1）可得圆环面的方程r(u, v)={(R+rcosv) cosu,( R + rc osv) sinu, rs in v}由式（14）得其切柱面的方程

环面的第一基本量：E=(R + r cosv)2，F=0，G=r2。

切柱面的第一基本量：

环面片取边界条件 [u1, u2]=[0°, 20°] ,[v1, v2]=[30°, 150°],Γ 曲线的 u 向参数U=10°。环面的半径 R=40，母线圆半径r=20。

4.1 环面片的展开

把切柱面映射到平面上，得到展开图的方程：

代入边界条件后的展开图如图4所示。

图4 环面片的展开图

4.2 变形分析

4.2.1 整体变形分析

通过环面和其切柱面的第一基本量，分别计算它们的经线长度、纬线长度、曲面片面积和参数曲线交角，进而得出相对经线长度变化 δLv、相对纬线长度变化 δLu、相对面积变化 δS 和相对参数曲线交角变化 δA 。图 5 是当u1=0,U=u2/2 时纬线长度和面积的相对变化情况，它们具有相同的变化值，并随参数 u2的增大快速增加。由图6可见，当u=U时，经线长度变化为零，两曲面沿该经线相切；经度离此越远，经线长度的相对变化也越大。图7为参数曲线交角的相对变化曲线，当u=U时，交角的相对变化为零；当参数v固定时，随参数u的减小， δA 约呈线性趋势增加；在参数u=U的两端，δ A 为对称分布，即有 δA ( u, v0)=δA ( u2-u, v0)。

图5 纬线长度和面积相对变化

图6 经线长度相对变化曲线

图7 参数曲线交角的相对变化曲

4.2.2 局部变形分析

把 f( v)=R + r cos v 、g ( v)=r sinv和切柱面的第一基本量代入公

式（11），得到映射中的微分长度比

式中

图8和图9分别为由上式得到的u = 5°,v = 45°、90°、135°和u = 15°,v = 45°、90°、135°时的μ- β曲线，由公式和图可知：

1）μ( u, v, β) =μ( u, v ,180°+ β)，即在一点处随着方向角β的变化，μ是以π为周期的周期函数。

2） 随着方向角β变化一周，μ四次取得极值，如图8中v = 90°的曲线，μ在极值方向角β等于43.7476°和223.7476°时取最大值1.0487；在133.7476°和313.7476°时取最小值0.9609，极值方向角对应着过该点的极值映射曲线的切矢方向，各极值方向角间相隔90°。

3） 随着方向角β变化一周，μ四次取 1值，如图8中v = 90°的曲线，μ在方向角β为92.4630°、175.0000°、272.4630°和355.0000°时等于 1，4个等距方向角对应着过该点的等距映射曲线的切矢方向。

4）μ( u, v, β)=μ( u ,180°- v,β)，如图中v=45°与 v=135°的曲线重合，即μ在 v向参数对称于 π /2时具有相同的值。

5）μ( u, v, β) =μ( 20°- u, v ,180°- β)，如图中 μ(5°, 90°,0°) =μ(15°, 90°, 180°) =1.0077，即μ在 u向参数和方向角β均对称于Γ曲线(u=U=10°)时具有相同的值。

图8 u=5°时的微分长度比

图9 u=15°时的微分长度比

图10和图11是由公式（15）和公式（16）得到的过点u = 5°和20°，v =30°、50°、…、150°的极值和等距映射曲线。由图10，图11可见，过每点分别各有两条极值映射曲线和等距映射曲线。根据一点处微分长度比的变化，图 10中向上倾斜的为最大变形曲线，向下倾斜的为最小变形曲线，分别对应着该点处最大和最小微分长度比的方向；图 11中过各点的两条等距映射曲线在展开时长度不发生变化，它们对应着该点处微分长度比等于1的方向。图12为把极值映射曲线和等距映射曲线变换到环面上的情形。

图10 极值映射曲线

图11 等距映射曲线

图12 环面上的极值和等距曲线

图13 S rδ - 曲线和校正后的展

由上面分析可见，曲面展开后纬线和经线长度都变长（因各点在0°和90°的微分长度比均大于1），导致展开后面积增大；纬线长度的相对变化与参数v（即纬度）无关，且与面积的相对变化等值，当u2=20°时为0.0103；经线长度的相对变化在u=20°时也达到0.0109，因而在用切柱面片对环面片进行替代时，经度方向不易取过大的范围，以减小展开误差。

以上分析为展开样板的矫正提供了依据，可采用形状与面积并行矫正，形状矫正为主、面积矫正为辅的策略：首先矫正纬线长度，使各纬线长度变化为零，由于面积相对变化只与纬向参数相关，所以纬线校正后，面积相对变化也趋向于零；然后再进行经线的矫正，把各纬线由平行线矫正为同心圆弧，各弧长等于相应纬线实长，大、小端圆弧的半径差等于经线实长，经线矫正会引起面积相对变化值的改变，形成面积相对变化与同心圆半径间的函数关系；最后根据这个函数关系，在合理控制面积相对变化值的情况下确定同心圆半径，从而完成展开样板的矫正。图 13是面积相对变化与大端圆弧半径r间的关系曲线和校正后的展开图，其面积相对变化值取为负0.001，这时大端圆弧半径为166.9680mm。

5 结 束 语

在上面的论述中，系统地提出了构造回转曲面的可展切曲面及它们间映射分析的理论与方法，建立了回转曲面可展切柱面和可展切锥面的数学模型，建立了它们间的映射关系，基于提出的回转曲面及其可展切曲面间微分长度比的理论分析，推出了映射中极值映射曲线和等距映射曲线的微分方程，通过整体和局部的变形分析，可以准确地掌握回转曲面与其可展切曲面间映射中的变形情况。这些理论和方法可以在曲面结构设计、不可展曲面近似展开及其误差分析和纹理映射及其变形控制等方面得到应用，同时对于曲面间映射分析的其他场合也有一定的借鉴、推广价值。

[1] 孟雅琴. 可展曲面的构造与插值研究[M]. 上海:上海交通大学出版社, 2010:3-25.

[2] Aumann G. A simple algorithm for designing developable Bezier surfaces [J]. Computer Aided Geometric Design, 2003, 20(8/9):601-619.

[3] Chalfant J S, Maekawa T. Design for manufacturing using B-spline developable surface [J]. Journal of Ship Research, 1998, 42(3):207-215.

[4] Pottmann H, Wallne J. Approximation algorithms for developable surfaces [J]. Computer Aided Geometric Design, 1999, 16(6):539-556.

[5] 毛 昕, 侯 悦. 不可展回转曲面近似展开的精度分析[J]. 工程图学学报, 1998, 19(3):1-10.

[6] 毛 昕, 侯 悦. 回转曲面近似展开的数学模型[J].工程图学学报, 1999, 20(4):1-6.

[7] 丁 森. 不可展曲面近似展开中若干问题的研究[D].沈阳:东北大学, 2011.

Developable Tangent Surface of Rotary Surface

Mao Xin, Yang Jinglin, Ma Mingxu
( Northeast University Mechanical Engineering and Automation School , Shenyang Liaoning 110004, China )

The general theory and method to construct the developable tangent curved surface of rotary surface and mapping analysis between them are put forward systematically, the mathematical model and mapping relationship of the developable tangent cylinder and developable tangent cone of rotary surface are established. The differential equations of the extreme value mapping curve and equidistant mapping curve are put forward according to the theory of differential length ratio between the rotary surface and its developable tangent curved surface. The deformation of mapping will be grasped accurately by the whole and local deformation analysis.

geometry calculation; rotary surface; developable tangent curved surface; mapping analysis

TB 21

A

2095-302X (2013)02-0065-07

2012-04-23；定稿日期：2012-05-07

毛 昕（1954-），男，吉林长春人，教授，硕士，主要研究方向为计算机图形学及辅助设计、理论与应用图学。E-mail：ddmx54@sina.com