应用电势梯度求场强时应注意的一个问题

张振川 王晓辉 李 博 安 雷

（军械工程学院 学员2旅21连，河北 石家庄 050003）

在目前国内使用的大学物理教材中，大多数在系静，即电E场＝部－分ΔU都.介由绍于了静电电势场与中电电场势强的度可的叠微加分性关，利用这种微分关系更容易求得电场强度.然而在实际应用中，如何合理利用这种微分关系却存在一些需要注意的问题.

1 提出问题

许多教材在讨论电势与电势的微分关系应用时都以均匀带电圆环轴线上电势与电场强度的关系为例子.

例1 计算半径为R、带电量为q的均匀带电圆环轴线上距离环心x 处的P 点的电场强度，见图1.

解：先求电势：

图1

利用电势与电场强度的微分关系在直角坐标系中有

可得

此结果与利用电场叠加原理得到的结果相同.

此例题给出了在已知某一直线上的电势分布求电场强度的方法，很容易给初学者一种印象：只要知道某一直线上的电势分布情况，就可以利用梯度关系求该直线上的电场强度.但这个观点是正确的吗？

仔细分析就会发现，上面的例子只是一个特例，并不适于一般情况.因为选取同样是半径为R、带电量为q 的非均匀带电圆环，讨论其轴线上任意点的电势和电场强度，其结论就会出现偏差.

计算可得非均匀带电圆环轴线上的电势为

与均匀带电圆环轴线上的电势分布相同.

如果仿照前面的方法也会得到

而由于轴线上的电势U 只是x 的函数，故Ey＝Ez＝0.但如果利用场强叠加原理分析就会发现结果存在问题.均匀带电圆环轴线上一点的场强由于环上电荷呈轴对称分布，环上全部电荷的dE⊥互相抵消，故只有x 轴方向的投影.而非均匀带电圆环的电荷分布不存在轴对称，其环上全部电荷的dE⊥无法完全互相抵消，而会有部分剩余体现在y 轴和z 轴的投影，通常不会出现Ey＝Ez＝0的情况.

对此结果进行比较，不免出现一个疑问：同样是利用电势与电场强度的微分关系，为什么会出现不同的结果？

2 分析问题

由于电场中各点电场强度与该点的电势梯度等值而反向，故可以从梯度的性质出发来探寻用电势梯度求场强的适用性.对于一个可以用连续函数U （x ，y，z） 表示的数量场梯度的定义是：对其沿任意的l方向求其方向导数，

当l的方向分别取x、y、z轴的方向时可得

上式中，α1、β1、γ1分别是E 与x、y、z 轴正向的夹角.

由以上推导可以看出：在静电场中，虽然只确定某一特定轴向上的电势情况下得不到该轴线上的电场强度，但可以得到其在轴向上的投影.

下面分析均匀带电圆环和非均匀带电圆环轴线上的情况.

对于均匀带电圆环，由于环上电荷呈轴对称分布，环上全部电荷的dE⊥互相抵消，其轴线上的场点满足α1＝0的情况，即场强E 的方向与x 轴正向相同，故

对于非均匀带电圆环，其轴线上不满足α1＝0的情况，故只满足

例如求均匀带电量为q的半径为R 半圆环轴线上距环心x 处的电场强度.

图2

利用电势叠加原理可得

其中，λ·πR＝q于是上式可写为

利用电势与电场强度的微分关系可得

而利用场强的叠加原理可得其场强

可以看到：利用场强叠加原理得到的电场强度在x 轴方向的投影与利用电势与电场强度的微分关系得到的结果相同.

3 结论

利用电势微分与电场强度的关系求场强在许多教科书中都有涉及，但其例题及习题大都是特殊情况下的计算，如求均匀带电细棒中垂面、延长线的电势与场强，求均匀带电圆盘中垂线上的电势与场强等.虽然部分教材中指出了由于电场具有对称性才采用了一维简化的形式，但这种编排容易让初学者产生误解.故在讲解此类例题时建议强调其特殊性.

［1］康颖.大学物理（上册）［M］.北京：科学出版社，2010.

［2］费里德曼.西尔斯当代大学物理（上册）［M］.邓如铁，孟大敏，徐元英，等译.北京：机械工业出版社，2009.

［3］吴百诗.大学物理基础（下册）［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［4］张三慧.大学基础物理学（下册）［M］.北京：清华大学出版社，2003.