大变形条件下单桩水平承载性状分析

张 磊，龚晓南，俞建霖

（1.西安建筑科技大学 土木工程学院，西安710055；2.浙江大学 软弱土与环境土工教育部重点试验室，杭州310058）

对于承受水平荷载的桩基础，许多学者做了大量研究［1－7］。为了计算桩身响应，中国桩基规范［8］建议采用m法，并编制了相关表格。由土体沉积特点可知，土抵抗侧向变形的能力一般随深度的增加而增大。m法假定地基反力系数沿深度线性增加，近似体现了地基土体这一特点。实测及计算结果均表明，水平荷载桩的桩身位移一般上部较大，下部较小。m法假定地表处地基反力系数为零，对上部土体抵抗侧向变形的能力考虑不周，导致上部土体强度较高时，如为岩石或硬黏土等，计算结果与实测值相差较大［9］。另外，该法为线弹性地基反力法的一种，只适用于地面处桩身位移小于10mm的情况［10］。当桩身位移较大时，如海洋工程中的桩基础［11］，土体的非线性特性表现的非常明显，此时计算误差就较大。Matlock［12］和 Reese等［13］基于实验结果提出p－y曲线法。该法通过量测桩身响应，总结出土反力与桩身位移的关系曲线，可以考虑土体变形的非线性与弹塑性，并在一定程度上考虑了土弹簧之间的相互作用，计算精度较高；但由于计算复杂，参数选取困难等原因，未能推广使用［14］。Hsiung等［15－16］通过简化p－y 曲线，把地基土分为上部的塑性段和下部的弹性段，求得地基反力系数为常数且桩顶自由条件下桩身响应的解析解，常林越等［17］求得桩顶固定时的解，张磊等［18］求得考虑桩身轴力影响的解；Guo［19－20］考虑了土弹簧之间的相互作用，求得桩身响应的解析解。然而，以上研究［15－20］均假定地基反力系数为常数，一般适用于超固结黏土和密实砂土。对于正常固结土、欠固结土以及松砂，考虑地基反力系数沿深度的变化，对提高计算精度及研究桩土相互作用机理具有重要意义。

基于Poulos［21］的建议，考虑土体屈服，针对地基反力系数在地表处不为零并沿深度线性增加的情况，求得桩身响应的解，并用FORTRAN语言编制了计算程序。与现场实测值及Hsiung解［15－16］的计算结果对比，还分析了一些因素对桩身响应的影响。

1 控制方程及求解

1.1 方程的建立

水平承载单桩分析模型如图1所示，桩顶作用水平力Q0和力矩M0。上部土体由于桩身位移超过土体屈服位移而进入塑性流动状态，下部土体仍处于弹性状态［15－17］。塑性段桩长为 H1，弹性段桩长为H2。采用的桩土相互作用分析模型如图2（a）所示，土反力与桩身位移的关系如图2（b）所示。塑性段土反力为

式中：b为桩的宽度；u＊为土体屈服位移；k1（z′）＝m（z0＋z′），为地基反力系数，z0为地面处当量深度，m为比例系数。

由文献［12］，黏土的屈服位移可取为

式中：εc为应变，根据土的状态取值，一般为0.005～0.02。由文献［13］，砂土的屈服位移可取为

弹性段土反力与桩身水平位移成正比：

式中：u为桩身位移；k2（z）＝m（z0＋H1＋z），为弹性段地基反力系数。

图1 水平承载桩示意图

图2 桩土相互作用

假定：位移以向右为正，转角以向左倾斜为正，弯矩以桩身右侧受压为正，剪力以绕研究对象顺时针转为正。基于欧拉梁理论，水平荷载桩塑性段桩身挠曲线微分方程为

式中：u′为塑性段桩身位移；EI为桩的抗弯刚度。同理，弹性段桩身的挠曲线微分方程为

1.2 方程解答

式（5）可求得解析解，另由欧拉梁理论中转角、弯矩和剪切力与横向位移的关系，得塑性段桩身变形和内力的解为

式中：U′＝ ｛u′，φ′，M′，Q′｝T，φ′、M′和Q′分别为z′处桩的转角、弯矩和剪切力u0和φ0分别为地表处桩的位移和转角；

式（6）不能求得解析解。弹性段桩身水平位移可采用幂级数形式表示：

式中：a为待定系数。把式（8）代入式（6）进行求解，并利用欧拉梁理论中转角、弯矩和剪切力与横向位移的关系，得弹性段桩身变形和内力的解为

式中：U＝ ｛u，φ，M，Q ｝T，φ、M和Q分别为z处桩的转角、弯矩和剪切力；Uh＝ ｛uh，φh，Mh，Qh｝T，uh、φh、Mh和Qh分别为弹性段桩身顶端的位移、转角、弯矩和剪切力；， ，式中c可按下 式 计 算：c1，0＝1c1，1＝00；其余项的递推公式为：

求得式（7）和式（9）后，桩顶未知的边界值可通过桩顶和桩底已知的边界值，以及桩的变形和内力在弹塑性分界点处的连续性求得，桩身任一点处的变形和内力也可通过式（7）和式（9）求得。弹塑性分界点的位置可由二分法求得。另外，还可采用二分法近似求得桩身剪切力为零的点，也即桩身弯矩的微分为零的点，再比较该点弯矩和桩顶弯矩以得到最大弯矩。

2 算例验证

基于所得解，采用计算机语言FORTRAN编制了计算程序。为了验证解及程序的可靠性，以下与现场实测值及Hsiung解［15－16］的计算结果进行对比。Mohan等在1971年报道了一组水平荷载桩现场实测结果［22］，桩身由钢管制成，桩长为5.25m，桩径为10cm，抗弯刚度EI＝313.6kN·m2，桩顶和桩底的约束条件均为自由。地面至地面以下3.3m范围内为砂土，其下为黏土。由于水平荷载桩的位移一般发生在桩身上部，土体屈服位移按砂土取值：u＊＝3.75mm。本文解土体参数取值：m＝24.0 MN／m4，z0＝0.3m；Hsiung解［15－16］中地基反力系数：k＝15.8MN／m3。桩顶施加水平力Q0＝4.9 kN，力矩M0＝0kN·m。桩的水平位移和弯矩沿桩身分布的实测值及计算值如图3所示。

图3可见，Hsiung解［15－16］计算出的地面处桩身位移约比实测值大11.2%，计算出的桩身最大弯矩约比实测值小14.2%；而解计算出的地面处桩身位移只比实测值大2.0%，桩身最大弯矩比实测值小2.3%。

3 影响因素分析

另以某工程钢管桩为例分析，桩长为20m，直径为0.61m，抗弯刚度EI＝170.2MN·m2；土体屈服位移u＊＝1cm，z0＝0.2m，m＝40MN／m4；桩底约束条件为自由。

3.1 水平荷载及桩顶约束条件的影响

图3 计算值与现场实测值对比图

假定桩底自由，针对自由和固定两种桩顶约束条件及不同的荷载大小，计算得到的桩身水平位移和弯矩沿桩身的分布如图4所示。由于桩顶固定时桩身弯矩的最大值为负值，为绘图方便，该条件下的弯矩反号。随着水平力和力矩的增加，桩身位移和弯矩都非线性增大。地面处桩身位移最大，距离地面的距离越大桩身位移越小，距地面的距离超过10倍桩径时桩身响应极小，可忽略不计，且桩身响应较大的桩段长度不随荷载大小和桩顶约束条件的改变而发生变化。桩顶约束条件的影响很大。桩顶位移最大。桩顶固定时，桩顶弯矩最大；桩顶自由时，最大弯矩发生在桩顶以下某点处，其位置随力矩的增加而向上移动，随水平力的增加而向下移动。

图4 桩身响应沿深度分布图

3.2 土体屈服位移及参数m的影响

假定作用在桩顶的水平力为400kN，力矩为200kN·m，桩顶自由，在不同的m值下桩的最大位移和最大弯矩与土体屈服位移的关系如图5所示。由图5（a）可见，桩顶位移随土体屈服位移的增加而减小，且其变化的幅度随土体屈服位移的增加而减小。这是因为土体屈服位移越大，极限土反力就越大，土也越难以屈服，桩顶位移就越小。m值越大，极限土反力及土为弹性状态时相同水平位移下的反力就越大，也即土抵抗侧向变形的能力就越强，因而桩顶位移就越小；反之，m值越小，土抵抗侧向变形的能力就越弱，在相同的荷载作用下桩顶位移就较大。由图5（b）可见，最大弯矩随土体屈服位移的增加而减小，且其变化的幅度随土体屈服位移的增加而减小；最大弯矩随m值的增加而减小。这主要是因为最大弯矩所在深度随土体屈服位移及m值的增加而减小。

图5 不同m值下桩身响应－土体屈服位移曲线图

4 结 论

1）既考虑了土体屈服，又采用沿深度线性增加并能较好的体现上部土体抵抗侧向变形能力的地基反力系数，求得桩身响应的解并编制了计算程序。所得成果可应用于目前使用日益广泛的大变形条件下水平荷载单桩的设计与计算。

2）随着水平力和力矩的增加，桩身位移和弯矩都非线性增大。

3）地面处桩身位移最大，距离地面的距离越大桩身位移越小，距地面的距离超过10倍桩径时桩身响应极小，可忽略不计，且桩身响应较大的桩段长度不随荷载大小和桩顶约束条件的改变而发生变化。

4）桩顶约束条件的影响很大。桩顶位移最大。桩顶固定时，桩顶弯矩最大；桩顶自由时，最大弯矩发生在桩顶以下某点处，且其位置随力矩的增加而向上移动，随水平力的增加而向下移动。

5）桩的最大位移和最大弯矩均随土体屈服位移的增加而减小，且其变化的幅度随土体屈服位移的增加而减小。

6）桩的最大位移和最大弯矩均随比例系数m的增加而减小。

7）计算发现本文解计算结果与现场实测值吻合度很高，比已有解更优，所得解及程序是可靠的。

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