立体几何中添加辅助线的策略

张淑敏

立体几何中添加辅助线的主要策略：一是把定义或者定理中缺少的线、面、体补完整；二是要把已知量和未知量统一在一个图形中，如统一在一个三角形中，这样可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以统一在平行四边形或其他几何体中。下面加以说明。

一、添加垂线策略。

因为立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的，如线面角、二面角的定义，点到平面、线到平面、平面到平面距离的定义，三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定义或定理，就需要把没有的垂线补上。尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系，才能使用三垂线定理或其逆定理。

例1. 在三棱锥 中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成的角的大小是________（用反三角函数表示）。

图1

解：如图1，由题意可设 ，则 ，O点在底面的射影D为底面 的中心， 。又 ，OM与平面ABC所成角的正切值是 ，所以二面角大小是 。

点评：本题添加面ABC的垂线OD，正是三棱锥的性质所要求的，一方面它构造出了正三棱锥里面的 ， ，另一方面也构造出了OM与平面ABC所成的角。

二、添加平行线策略。

其目的是把不在一起的线，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形，这样就可以通过解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位线来作出所需要的平行线。

例2. 如图2，在正方体 中， ，则 与DF所成角的余弦值是（ ）

A. B. C. D.

图2

解析：取 ，易得四边形ADFG是平行四边形，则AG//DF，再作 ，四边形 也是平行四边形， 就是 与DF所成角，由余弦定理，算出结果，选A。

点评：求异面直线所成角常采用平移法。

三、向中心对称图形对称中心添加连线策略。这主要是因为对称中心是整个图形的“交通”枢纽，它可以与周围的点、线、面关联起来，常见的有对平行四边形连对角线，对圆的问题向圆心连线，对球体问题向球心连线。

例3. 如图3，O是半径为1的球的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（ ）

A. B. C. D.

图3

解析：添加辅助线OE、OF，连结EF，构成 ，关键是求 。为了使EF与已知条件更好地联系起来，过E作 ，垂足为G，连结FG，构造 ，在图3中， 。

点E、F在该球面上的球面距离为 ，故选B。

点评：本题抓住了球心，抓住了弧中点，利用这些特殊点作辅助线是解题的关键。

四、名线策略。即添加常用的、重要的线，如中位线、高、角平分线、面对角线和体对角线等。尽管这些线上面也有提到，但还是要在这里强化一下，这些线有着广泛的联系。尤其是添加三角形中位线或者梯形中位线，这主要是因为中位线占据了两个边的中点，并且中位线平行于底边，且是底边长的一半，它可以把底边与其他线面的角度关系平移，使已知和未知集中在一个三角形中。

例4. 如图4，正三棱柱 的各棱长都为2，E、F分别是AB、 的中点，则EF的长是（ ）。

图4

A. 2 B. C. D.

解析：如图4所示，取AC的中点G，连结EG、FG，则易得 ，故 ，选C。

点评：本题充分体现了中位线的重要性。

五、割补策略。分割成常见规则图形，或者补形成典型几何体。

例5. 一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A. B. C. D. 6

解析：把这个正四面体 补成正方体，如图5，正四面体 可看成是由正方体的面对角线构成的，这个正四面体和这个正方体有相同的外接球面。因为四面体 的棱长为 ，所以正方体棱长为1，正方体的体对角线长为球的直径 ，所以球的表面积 ，选A。

图5

点评：把一些线面关系放到正方体中思考，能给问题一个更好的参照，使各种线面关系易于理解。