攻防对抗中追逃双方的最优策略及其参数分析

黑高源

(中国空空导弹院，河南洛阳 471009)

微分对策的一些概念最早可以追溯到20世纪50年代，几乎与现代控制理论同时产生，并且稍后出版了这方面的专著［1］，在可查的文献中主要涉及两类模型，分别是 LQDG［2］和 NDG［3－5］，文献［6］的研究从拦截方的角度出发，分别给出了两种模型下，保证脱靶量为零时各参数应满足的条件，并对两种指标下导弹的拦截性能进行了比较。但本文将两种模型合二为一，并以此讨论追逃双方的策略问题。

1 系统模型及简化

若追逃双方的相对距离相对于它们的地心矢径足够小，同时考虑自动驾驶仪是一阶惯性环节，用 τi(i=e，p)和ai(i=e，p)表示逃脱方和拦截方的时间常数以及指令加速度，则攻防对抗过程可以简化单变量系统［1］:

其中 h(ξ)=e－ξ+ ξ－1，tf是脱靶时刻，z表示 t时刻的零控脱靶量。LQDG模型隐含能量约束，NDG模型强调加速度限制，而实际情况必然既有能量约束又含加速度限制，因此得到如下模型:

记初始时刻和脱靶时刻的零控脱靶量分别为z0和zf。t时刻的剩余飞行时间为τ=t－tf，初始时刻的剩余时间记为τ0，可知zf也是实际的脱靶量。

2 攻防参数分析

2.1 攻防双方的最优策略及可控性条件

根据微分对策的基本原理，攻防双方的最优策略以及在最优策略下它们各自的位移偏差可以简化为:

ti=max［t0，min(t'，tf)］且 fi(t')=Ki。若把 τ0和 zf中涉及 t0的项换成当前时刻t，同时Ei(i=e，p)表示当前剩余能量，则式(3)表示闭环控制，否则为开环控制。令

定义函数:

gL(τ0)=f(Ap，Kp，τp)－ f(Ae，Ke，τe)+L，则有逃脱区域Ie:{(τ0，z0)|z0＞g0(τ0)且 z0＞0}和拦截区域 Ip:{(τ0，z0)|0＜z0＜g0(τ0)}。图1 中描绘了当 τp/τe=0.5，5，0.1 时曲线g0(τ0)的变化情况。从中可以看出时间常数越小，相应的可拦截区域或可逃脱区域就越大。事实上，一阶惯性环节相当于延迟环节，而延迟的时间就是时间常数，如果一方的延迟的时间越小，那么它相对另一方提前机动的时间就越长，从而在对抗中处于更有利地位。另外一方提前机动引起的速度位移的变化会随着时间积累，这也是图中当τ0越大时g0(τ0)相差也越大的原因。

图1 时间常数对逃脱区域的影响

2.2 理想条件下最优策略分析

一阶系统对应的最优策略的形式较复杂，不便于分析能量和加速度约束对攻防双方的影响。由上节，当τi→0(i=e，p)时得到理想环节下攻防双方的最优策略:

图2给出了各种条件下攻防双方相应区域的变化情况。从中可以看出，能量和加速度越大，就越有利于攻防双方作战目标的实现。对逃脱方而言，当加速度足够大时存在绝对逃脱区域，但不论拦截方的加速度和能量有多大都不存在一个绝对拦截区域，从这种意义上说拦截的难度要大于逃脱的难度。实际空战情况下，能量越大意味消耗燃料越多以及飞行航向的偏离越大，因此空空导弹和飞机都倾向于提高机动能力(加速度)以较小的代价(能量)实现自己的作战目标。实际上当(Ep－Ee)×(Ap－Ae)＜0时，g0(τ0)=0除了存在零解还有一个非零解，若加上一阶环节，还有其它非零解，不过近似为零。定义时间窗口:

图2 理想系统下的机动区域分析

3 仿真算例

攻防双方的最优策略具有相似性，本节主要从飞机的角度考察其最优策略的相关结论。假定双方的机动策略都按能量都不受限制的情况给出，同时有Ae=30，Ap=20，则由前文公式可得飞机的时间窗口是(0，30)，最佳机动时刻τ1=18，窗口深度R=900。仿真结果如表1。

表1 采用最优策略时的脱靶情况

从表1可以看出最终脱靶量L=|z0|－g(τ0)，飞机在时间窗口内总能逃脱，尤以在最佳机动时刻开始机动时的脱靶量最大。

4 结束语

攻防对抗中，追逃双方的机动能力——加速度和能量，对脱靶量有重要影响，本文给出的可控性条件定量的描述了这种影响，并在此基础上分析了时间常数对逃脱区域和拦截区域的影响。本文还给出了时间窗口、最佳机动时刻和窗口深度3个概念，它们和最优策略一起回答了什么时间机动、如何机动和脱靶量有多少等攻防对抗中的重要问题，这对武器设计以及实战都有重要意义。

［1］ Isaacs R.Differential games［M］.New York:Willey，1965.

［2］ Ben-Asher J，Yaesh I.Advances in Missile Guidance Theory［R］.Reston，VI:AIAA，In Progress in Astronautics and Aeronautics，1998，180:25 －35.

［3］ Gutman S，Leitmann G.Optimal Strategies in the Neighborhood of a Collision Course［J］.AIAA，1976，14:1210－1212.

［4］ Gutman，S.On Optimal Guidance for Homing Missiles［J］.Journal of Guidance and Control，1979 3(4):296 －300.

［5］ Shinar J.Solution Technics for Realistic Pursuit-Evasion Games［R］.New York:Academic Press，In C.T.Leonides(Ed.)，Advances in Control and Dynamic Systems，1981，17:63－124.

［6］ Turetsky V，Shinar J.Missile Guidance Laws Based on Pursuit-Evasion Game Formulations［J］.Automatica，2003，39:607－618.

［7］ 毕兰金，李耀阳，武志东.反舰导弹末端蛇行机动突防效果仿真［J］.海军航空工程学院学报，2010(3):252－254.

［8］ 王敬强，骆鲁秦，张晓杰，等.拖曳式诱饵对末制导雷达的干扰分析［J］.四川兵工学报，2011(11):86－87.

［9］ 李士勇，章钱.CMAC与变结构复合控制的新型导引律［J］.火力与指挥控制，2011(2):46 －49.

(责任编辑周江川)