等效法在自主招生考题中的应用

李柏涛

（宁波市柴桥中学，浙江 宁波 315809）

等效法也叫等效替代法，是物理学研究的重要方法之一.它是把陌生、复杂的物理对象、物理过程在保证某种效果、特性或关系相同的前提下，转化为简单、熟悉的物理对象、物理过程来研究其本质和规律的一种思想方法.在高中物理解题中，常见的等效法替代有很多种情况：诸如对象的等效、模型的等效、过程的等效、运动的等效、作用的等效、原理的等效、图形的等效和方法的等效等等.在历年的自主招生考题中常会出现要用或能用等效法解决的问题，今赏析如下.

1 原理的等效

例1.（2008年复旦大学自主招生考题）现有带刻度的尺，细直玻璃管，玻璃杯，一根弯成直角的细玻璃管，一定量的水，量角器，要制成最简单方便的加速度测量仪，用于测量列车的加速度，应选用

（A）细直玻璃管、尺、水. （B）玻璃杯、尺、水.

（C）弯成直角的细玻璃管、尺、量角器、水.

（D）细直玻璃管、玻璃杯、尺、水.

解析：当列车做加速度为a的匀加速直线运动时，玻璃杯中的水面将与水平面形成一定的倾角，如图1所示.

图1

图2

本例正确答案为选项（B）.

2 模型的等效

例2.（2011年卓越联盟自主招生考题）如图3所示，两段不可伸长细绳的一端分别系于两竖直杆上的A、B两点，另一端与质量为m的小球D相连.已知A、B两点高度相差h，∠CAB＝∠BAD＝37°，∠ADB＝90°，重力加速度为g.现使小球发生微小摆动，则小球摆动的周期为

图3

图4

解析：根据题设条件，可得△CAB≅△DAB，则BD＝BC＝h.过D点向AB作垂线，交AB于E点，如图4所示，DE即为等效单摆的摆长，其长度为

本例正确答案为选项（D）.

3 效果的等效

例3.（2011年卓越联盟自主招生考题）半径为R的接地金属球外有一电荷量为q的点电荷，点电荷与球心O相距d＝2R，如图5所示.金属球上的感应电荷为

图5

图6

解析：用假想点电荷q′来等效替代金属球上的感应电荷，根据对称性，q′应在Oq连线上，如图6所示.在q和q′的共同作用下，球面上任一点P的电势都为0，则

4 过程的等效

例4.（2011年卓越联盟自主招生考题）心电图仪是将心肌收缩产生的脉动转化为电压脉冲的仪器，其输出部分可用一个与大电阻（r＝40k Ω）相连的交流电源来等效，如图7所示.心电图仪与一理想变压器的初级线圈相连，扬声器（可以等效为阻值R＝8Ω的电阻）与该变压器的次级线圈相连.在等效电源的电压有效值U0不变的情况下，为使扬声器获得最大功率，变压器的初级线圈和次级线圈的匝数比约为

图7

图8

解析：设输入电流为I1、输入电压为U1、初级线圈的匝数为n1，输出电流为I2、输出电压为U2、次级线圈的匝数为n2，则

把心电图仪等效地看成一个电动势为U0、内阻为r的电源，把变压器和负载R等效地看成一个电阻R′，如图8所示，根据电阻的定义有

5 运动的等效

图9

例5.（2011年华约联盟自主招生考题）如图9所示，水平高台上有一小车，水平地面上有一拖车，两车之间用一根不可伸长的绳跨过定滑轮相连.拖车从滑轮正下方以恒定速度沿直线运动，则在拖车行进的过程中，小车的加速度

（A）逐渐减小. （B）逐渐增大.

（C）先减小后增大. （D）先增大后减小.

解析：将拖车的运动依据实际效果分解为沿绳的分运动，分速度v1＝vc o sθ；垂直于绳的分运动，分速度v2＝vsinθ，如图10所示.众所周知，加速度是表示速度变化快慢的物理量.加速度的改变与其速度的大小改变和与其垂直速度的方向改变有关.今拖车的分速度v1和v2的大小和方向都在变化，因此拖车的加速度应该有4个分量，如图11所示.加速度a1改变分速度v1的大小，使v1增大，加速度a1′改变分速度v1的方向；加速度a2改变分速度v2的大小，使v2减小，加速度a2′改变分速度v2的方向.

图10

图11

由于拖车以恒定速度沿直线运动，所以拖车的加速度为0.现在“无中生有”，将“0”等效为4个加速度，即

本例正确答案为（A）.

6 方法的等效

图12

例6.（2013年北约联盟自主招生考题）如图12所示，在一竖直平面内有水平匀强磁场，磁感应强度B的方向垂直该竖直平面朝里.竖直平面中a、b两点在同一水平线上，两点相距l.带电荷量q＞0，质量为m的质点P，以初速度v从a对准b射出.略去空气阻力，不考虑P与地面接触的可能性，设定q、m和B均为不可改变的给定量.

（1）若无论l取什么值，均可使P经直线运动通过b点，试问v应取什么值？

（2）若v为（1）问可取值之外的任意值，则l取哪些值，可使P必定会经曲线运动通过b点？

（3）对每一个满足（2）问要求的l值，计算各种可能的曲线运动对应的P从a到b所经过的时间.

（4）对每一个满足（2）问要求的l值，试问P能否从a静止释放后也可以通过b点？若能，再求P在而后运动过程中可达到的最大运动速率vmax.

图13

图14

图15

图16

图17

通过以上6个例题看到了等效法在解题中的应用，不难发现等效法是把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的、等效的物理现象、物理过程来研究和处理的一种重要科学思维方法.在教学过程中，若能把等效的解题方法渗透到对物理现象、物理过程的分析中去，不仅可以使我们对物理问题的分析和解答变得简捷，而且对灵活运用知识、促使知识、技能和能力的迁移，都会有很大的帮助，能极大地活跃学生的思维.