善构造巧解题——例谈构造法在数学解题中的应用

☉湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区 李红春

善构造巧解题
——例谈构造法在数学解题中的应用

☉湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区 李红春

构造法是一种打破常规数学解题思路，通过观察、联想、构造出满足条件的数学对象，使复杂的问题简单化的一种解题方法.掌握构造法对增强学生思维的灵活性、开拓性和和创新性都有着十分重要的意义.本文撷取数道运用构造法解题的典型例子并予以简要分析，旨在展现构造法的广泛用，希望能对广大读者提升解题能力有所帮助．

一、构造函数

例1 设a、b、c为直角三角形的三条边，且c为斜边，求证当m≥2时，cm≥am+bm.

评注：函数是高中数学的主线，求解某些数学问题时，根据问题的条件，通过构造辅助函数，再借助函数的性质（如单调性、奇偶性、有界性）来解决问题是一种极为重要的方法，值得细心体会并熟练掌握．

二、构造方程

评注：根据问题中的数量关系和结构特征，利用方程根的定义、判别式、韦达定理等相关知识构造出方程，然后使用方程的知识使问题解决，是一种颇为常见的方法，值得关注．

三、构造恒等式

评注：根据待证式的特征，联想有关的恒等式，再借助恒等式的有关特征来解题，问题解决起来显得熟悉、简单．

四、构造三角函数

评注：本题若直接从代数的角度求解，通常采用导数法或换元法求解，计算量大，极易出错，通过式子的结构特征联想到三角函数的万能公式，将代数问题转化为三角函数来解决，简捷、优美．根据条件式的结构特征，联想与题设相关的三角函数模型，再利用三角函数公式或性质来解题是一种值得借鉴的解题方法．

五、构造不等式

评注：例5、例6分别创造性地使用排序不等式与柯西不等式来解题，解法独具匠心，让人拍案叫绝！均值不等式、柯西不等式、排序不等式等都是高中数学非常重要的不等式，解答某些数学问题时，通过联想，对式子进行“拆”、“凑”、“配”等方式进行变形，构造使用这些典型不等式的条件，借助这些经典不等式来解题，往往会收到意想不到的效果．

六、构造向量

例7 若x2+2xy-y2＝7（x，y∈R），求x2+y2的最小值.

七、构造方差

评注：根据题目的特点联想到统计知识中的期望和方差， 再根据方差的非负性及公式Dξ＝Eξ2-（Eξ）2构造不等关系解题，求解有如神来之笔，让人回味无穷.

八、构造数列

点评：例9、例10根据式子的结构特征，分别联想到“等差中项”和“等比数列前n项和”，通过构造等差数列和等比数列来解题，解答过程思路清晰，简捷明快．

九、构造几何模型（图形）

评注：“数形结合”的思想是高中数学中极为重要的思想方法，其中“以形助数”更是每年高考的热点，当题设中的数量关系有明显的几何意义时，构造几何模型或联想某种几何图形来分析问题往往使问题的解决显得简捷、直观．

十、构造对偶式

评注：通过给待证式左边的式子匹配两个与之结构对偶的式子，一起参与运算，使问题加以解决，给人耳目一新的感觉．

从以上例子不难发现，构造法在数学解题中有着非常广泛的应用，用构造法解题表现出了思维的不规则性与创造性，它以解题者所掌握的知识为背景，以已具备的能力为基础，以观察为先导，大家只有在平常的解题中细心体会，勤于想象，把握知识间的纵横联系，才能熟练掌握.

1.蔡勇全.从结构联想模型巧证不等式的着眼点［J］.中学数学研究（广州），2012（1）.

2.李红春.构造法巧解两道三角函数题［J］.高中数学教与学，2009（4）.