教材例习题编写的思考和范例

2013-01-13北京市海淀区教师进修附属实验学校夏繁军

中学数学杂志 2013年7期

☉北京市海淀区教师进修附属实验学校夏繁军

教材例习题编写的思考和范例

☉北京市海淀区教师进修附属实验学校夏繁军

教材例习题是教材和教学的有机组成部分，它是帮助学生巩固基本概念，评估学生学习效果，提高学生思维能力，训练学生学会数学表达，促进学生学习的有力工具，下面结合对教材的研究和教学的体会，对教材例习题的作用，编写的原则，例习题编写的目标测评方式给出个人的认识，并结合人教B版选修2-2第一章第一单元导数（导数的概念和几何意义）给出我对例习题设计的思考.

一、教材例习题编写的原则

1.明确性：帮助学生理解、巩固教材的概念、公式、法则，提高学生的思维能力，开阔学生视野，感受数学的价值，帮助

学生进一步提出和解决问题；

2.适度性：题目数量、难度要适度，有利于学生对教材概念的理解，引导学生学习和提问，提高学生思维能力；

3.系统性：注重不同知识间、不同学科间、不同领域间的联系、整体要有系统的规划，重点题目在不同的位置体现不同的作用.

二、教材例习题编写的目标测评表

根据以上分析，结合笔者的教学体会，制定以下教材例习题编写的目标测评表，供教师编写例习题时参考.

注：①4.很能体现；3.比较能；2.一般；1.不能.②只要有一项是4分，就要考虑，或总分≥17分该题目可选用.（具体建议：理解核心概念3分以上，能力至少占一项，且此项得分在3分以上，后面5项指标中至少要3项在3分以上，其余2项在2分以上，最低总分17分.）

三、范例

人教B版选修2-2第一章第1单元：导数（导数的概念和几何意义）

《普通高中数学课程标准》对导数概念的要求：

导数的概念和几何意义

①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.

②通过函数图像直观地理解导数的几何意义.教学建议：

通过实际背景和具体实例──速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数.体会凡变化的对象，都有变化率的问题，导数就是某个时刻的瞬时变化率.

根据课标要求，我从教材例习题编写的目的出发，以评价测评表为依据，对照分析人教B版选修2-2第一章第一单元导数（导数的概念和几何意义）的例、习题，分析修改的原因，并给出修改后的例习题和目的，详细内容见下表：

内容安排原例题、习题修改原因修改后的例、习题和设计目的1.1.1平均变化本节的重点是理解函数f（x）在某一点x 0附近的平均变化率.教材引入：山坡—斜率—函数变化率例1 求函数y=x 2在区间［x 0，x 0+Δ x］的平均变化率.例2 求函数y=1 W x 在区间［x 0，x 0+Δ x］（x 2≠0，x 0+Δ x≠0）的平均变化率.甲厂例题此处两个例题全部求［x 0，x 0+Δ x］的平均变化率.应该增加通过图像分析变化率的例题，研究函数的不同方法：解析式、图像、导数，同时提高学生的观察能力，找准思考的角度分析问题，规范学生表达能力，而例题2可以放在练习B例1求函数y=x 2在区间［x 0，x 0+Δ x］的平均变化率.（目的：巩固概念）例2两个工厂经过治理，污水的排放量（W）与时间（t）的关系如图1所示.试指出在接近t 0时哪个工厂治污效果较好.（目的：通过图像直观分析变化率，学会应用数学语言进行表达和交流）乙厂O t 0-Δ t t 0 t图1 A组A组1.通过图像分析变化率（好例子）2.求函数y=x 2在区间 1，4［］，3 1.甲乙两人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图2、3所示：3的平均变化率并比较大小.3.求函数y=x 2－2 x+3在区间2 3 1［］，8 2，7路程3［］3，1 0 0 m［］O 2，2，2，2 5 1［］的平均变化率.图2 t 图3 t O 2 1.1.1练习B组练习2重复运算太多，可以让学生计算区间［1，2］，［2，3］的变化率，并比较大小，与例题1相对应，一个是一般的区间，一个是具体的，并且让学生从具体数据体会到函数y=x 2在x>0时平均变化率是增大的.练习3运算过于复杂，不利于学生理解概念，建议删去.1.通过图像比较平均变化率（好例子）2.求函数y=s i n x在区间 0，π［］6［］的平均变化率的大小.（好例子，有利于不同模块间的联系）和π 3，π 2（1）甲乙两人哪个跑得快？（2）甲乙两人百米赛跑，问接近终点时，谁跑得较快？（目的：通过图像直观分析变化率）（原题保留）2.求函数y=x 2在区间［1，2］，［2，3］的平均变化率，并比较大小.（目的：从具体数据体会到函数y=x 2在x>0时平均变化率是增大的.）B组1.求函数y=1 x 在区间［x 0，x 0+Δ x］（x 0≠0，x 0+Δ x≠0）的平均变化率.（目的：例题1的对应练习）（原例题保留）

2.比较函数y=s i n x在区间 0，π［］和6 1.1.1练习［］的平均变化率的大小.（目的：有利于建立不同模块间的联系）（原题保留）π 3，π 2 1.1.2瞬时速度与导数概念本节重点是引导学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程，明确函数的瞬时变化率就是函数的导数.并且给出导函数概念.体会极限的思想.教材以1 0米跳台跳水运动为例，分析运动员在t=2秒时的瞬时速度，函数h（t）=1 0+6.5 t－1 2 g t 2，重视过程.2 g t 2，求向上速度为0时经过的时间.例2面积对温度的膨胀率（二次函数型）（应增加对导数概念理解的题目）.例1 火箭做竖直上抛运动，函数h（t）=1 0 0 t－1例题一方面让学生通过运算瞬时变化率来体会导数的概念，还应当通过图像等方式让学生体会导数的概念，建议例2放在练习B中第2题与讨论火箭上升最大高度偏离方向，成了解物理题，删去例1包括思考与探究都保留.（典型模型的再次利用，体会瞬时速度就是导数）例2求函数y=a x 2+b x+c在x=1和x=2处的导数.目的：体会求函数的导数就是求瞬时变化率，与例1在问题的问法上相反.利于学生思维能力的培养.思考探索与研究通过圆的面积与圆周长的关系，球的体积与球的面积的关系，理解导数的概念建议放在导数一章的后面，作为一个完整的探究问题.观察与思考：如图4是我们见到的汽车过桥时的限速牌，圆牌上的速度（2 0），（4 0）你认为应当是平均速度还是瞬时速度？（放在导数和导函数后面，源于生活，和学生生活密切相关，帮助学生认识数学在实际生活中的应用，同时渗透生活教育，我们应当多找些这种例子）图4 A组A组A组1.求运动方程为s（t）=v 0t+1 1.求运动方程为s（t）=v 0t+1 y 2 a t 2在t=2秒时的瞬时速度.2.以初速度为4 0 m/s斜抛一石头，抛掷方向与水平成4 5°，求石头达到的最高高度.3.求函数y=a x+b的导数.4.如果一个函数的导数处处为零，这个函数是什么函数？B组1.以初速度为5 0 m/s斜抛一手榴弹，抛掷方向与水平成6 0°，求手榴弹能掷多远.2.求函数y=a x 2+b x+c在x=1和x=2处的导数.练习2运算的复杂性干扰了学生对导数概念的理解，练习2可以换成具体的一次函数，更有利于学生的理解，然后问学生一般的一次函数在各点的导数.B组练习1与A组的第2题重复.其中膨胀率有利于帮助学生理解导数概念，故保留在B组练习2中.2 a t 2在t=2秒时的瞬时速度.目的：例题1的对应练习2.图5是函数f（x）的图像，根据图像分别求函数f（x）在点x 0=1，x 0=2处的导数.并思考函数y=a x+b在各点的导数是什么.目的：渗透数形结合思想，提高归纳概括能力B组1.如果一个函数的导数处处为零，这个函数是什么函数？1 x 1.1.2练习O 2图5

1.1.2练习2.（原例题2）一正方形铁板在时，边长是1 0 c m，加热后铁板会膨胀，当温度是时，边长变为1 0（1+a t）c m，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率.1.1.3导数的几何意义体会由割线的斜率无限逼近切线的斜率，给出导数的几何意义：f′（x 0）是函数f（x）在点（x 0，f（x 0））的切线的斜率.教材的说法感到比较生硬.可用问题引导：求曲线在已知点A处的切线，只需要再求什么？（在割线无限逼近切线的过程中，割线的斜率就会趋近于切线的斜率，割线的斜率的极限就是切线的斜率，即函数在点A的导数）问题引导，体现过程，会更好些.例1 求抛物线y=x 2在点（1，1）的切线的斜率.例2求双曲线y=1 6此处三个例题主要围绕函数在的切线的求法，与本节课的核心概念；导数的几何意义的理解有所偏离.求曲线的切线仅仅是一个导数几何意义的应用问题，可以举一个例子即可.其他的可以放在运算法则后面.对于曲线的切线准确的理解可以通过思考探究题来呈现，完善学生的知识结构.例题3那种不过切点的情况可以放在后面.例1 二次函数f（x）的图像如图6所示，不用计算，试比较图像上三个点B、C、D的导数值大小.目的：理解导数的几何意义，问法上引导学生由导数联想几何意义，培养学生逆向思维能力，动手操作能力.思考：函数的导数值的大小与函数在此点附近变化的关系？目的：在于引导学生由导数的情况来研究函数的单调性，以及体会以直代曲思想.例2求抛物线y=x 2在点（1，1）的切线方程.目的：导数几何意义的应用例3函数y=x 3的图像如图7所示，以图像上一点A（1，1）为切点，作函数的切线l，则直线l与函数图像有几个公共点？这与初中所学的切线的定义有什么不同？目的：准确理解曲线的切线的定义.y 4 B 2（）处x在点 2，1 C D 2-2 5 O x的切线方程.（重复，可以换成一个理解以直代曲思想的题目）例3求抛物线y=x 2过点 5图6 6的切线方程.（）2，例题6 4 y 2 A x-2-4 5图7 A组A组A组y 1.求函数y=x 2在点（0.3，0.0 9），（1，1），（3，9）的切线的斜率.2.求下列曲线在给定点的切线的斜率（1）y=2 x 2，（1，2）；（2）y=x 2+1，（1，2）；（3）y=3 x－5，（2，1）；（4）y=1第1题与例题重复，第2题求切线的不同形式，而且是在运算法则介绍以前，只能用定义算，掩盖了几何意义的理解.B组第2题从方法上与第1题一样，而且运算量大，不利于理解导数的几何意义.1.如图8，函数f（x）的图像是折线段A B C，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））=______；l i m 4 3 2 C 1 1.1.3练习B 1 2 3 4 5 6 x图8 Δ x→0 f（1+Δ x）－f（1）Δ x x ，（1,1）.=______.（用数字作答）

B组1.已知曲线y=x 2-1和其上一点，这点的横坐标是-1，求曲线在这点的切线方程.（有此题，前面A组练习就可以不要）2.求抛物线y=x 2+3 x+4上一点（x 0，y 0）的切线方程.（一般点就不用推导）目的：理解导数的几何意义（2 0 0 8北京）2.求双曲线y=1 x在点 2，1（）处的切线方程.2目的：例2对应练习，函数类型换成反比例函数.B组1.已知曲线y=x 2－1和其上一点，这点的横坐标是1，求曲线在这点的切线方程.2.画出函数f（x）=s i n x（x∈R）包含原点的部分图像，类比割线逼近切线的方法，画出函数f（x）在原点出的切线.（链接动画）目的：经历由割线无限逼近切线的过程，体会曲线切线的定义.联系三角函数图像和性质.A组A组A组1.已知质点按照规律s=2 t 2+4 t运动，求（1）质点开始运动后3 s内的平均速度；（2）质点在2 s到3 s内的平均速度；（3）质点在3 s时的瞬时速度.2.求下列函数的导数（1）y=a x+b（与练习2 A组第3题重复）；（2）y=1 x+1.已知质点按照规律s=2 t 2+4 t运动，求（1）质点开始运动后3 s内的平均速度；（2）质点在2 s到3 s内的平均速度；（3）质点在3 s时的瞬时速度.目的：复习平均变化率与瞬时变化率.2.高台运动员相对于水面的高度关于时间的函数是h（t）=1 0+6.5 t－4.9 t 2，高度h关于时间t导数是速度v，则速度v关于时间的导数是什么？目的：加深对导数的意义的理解.（参照人教A）3.下图是某一运动路程关于时间的大致图像.则运动速度与图像的对应可以是：习题1-1 2（重复）.3.已知函数f（x）=（x－1）2，求f′（x），f′（0），f′（2）.B组1.函数y=f（x）的导函数与在x 0处的导函有何区别.2.商 f（x+Δ x）-f（x）Δ第1题复习平均变化率与瞬时变化率，保留.第2题与前面的重复，删去第3题目的是区分导函数与导函数值，保留.B组第2题原来想放在导数概念的后面，后来反复考虑：如果放在哪里，在学生没有经过导数的运算过程，会给导数的概念带来混乱，还是放在习题较好，在学生经过大量导数运算后再认识其中x的不变性会更好，体会变化中的不变性.x 与x有关吗？令Δ x→0，x是否应保持不变？3.分别求抛物线y=1（）（）（）A.匀速行驶 B.加速行驶 C.减速行驶4 x 2在点（-2，1）和（2，1）的切线方程.4.求抛物线y=1 4 x 2过点 4，7（）的4切线方程.x 与x有关吗？令Δ x→0，x是否应保持不变？3.已知函数f（x）=（x－1）2，求f′（x），f′（0），f′（2）.（目的：是区分导数、导函数、导函数值）（重点体会函数的导数体现原函数的变化情况）B组1.函数y=f（x）的导函数与在x 0处的导函有何区别.2.商 f（x+Δ x）-f（x）Δ

4 x 2在点（-2，1）和（2，1）的切线方程.（目的：导数几何意义的应用）5.你已经学习导数的概念，那你如何给你未学过导数的同学介绍什么是导数？（目的：对所学的导数知识的汇总：导数概念的不同表达形式）4.分别求抛物线y=1例习题编写建议增加思考与讨论借鉴近几年高考题、模拟题中的优秀题目，数学教育读物中的优秀题目，大学教材中的习题导数一章的探索与研究作业：利用所学的导数的知识，研究圆的面积和圆的周长，球的体积和球的表面积的关系，写一篇研究论文，相信你会做好，做完与同学交流一下，以小组为单位在班级展示.目的；导数的应用研究，合作意识的培养对原来例习题的总体印象：1.运算太多，干扰对概念的理解.2.重复太多，给老师学生心里造成负担.3.缺少思维训练，能力提升的分析.4.缺少灵活和动手操作层面的内容.修改后：题量比较适当，题目集中突出对概念、本质的理解，注重数学思想的提炼，特别是数形结合思想，注重学生的体验，通过图像、解析式、运算研究函数性质，注重学生思维能力的提升和动手能力培养.